Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Toán 12

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Toán 12 

 1. TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ

I. Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số

Phöông phaùp: Để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số Bước 2: Tính đạo hàm y’ Bước 3: Giải phương trình y’=0 Bước 4: Tính các giới hạn ( nếu cần). Bước 5: Lập bảng biến thiên của hàm số. Từ đó, đưa ra kết luận.  Chú ý: Trong trường hợp phương trình y’ = 0 vô nghiệm, tức là hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến, ta có thể bỏ qua bước 5 ( lập bảng biến thiên ).

Ví duï: Ví dụ 1: Cho hàm số (C ): y = 2x3 -3x2 + 1 a. Khảo sát sự biến thiên của (C ) ? b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau: 2x3 -3x2 –m = 0 (1) Hướng dẫn: a/ - Miền xác định: D = IR - Đạo hàm: y’ = 6x2 – 6x , Giải phương trình: y’=0 <=> 6x2 – 6x = 0 < = > x=0 v x= 1 ( nhận) -Giới hạn:     y xlim và     y xlim

- Bảng biến thiên: Vậy: * Hàm số đồng biến trên các khoảng  ( ;0) và (1; )   * Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) b/ Viết lại phương trình dưới dạng: 2x3 -3x2 + 1 = m +1 Khi đó , số nghiệm của phương trình bang số giao điểm của (C ) với đường thẳng (d): y = m +1. Dựa vào bảng biến thiên ta nhận được kết luận: * Với m + 1 < 0  m < -1: Phương trình (1) có một nghiệm *Với m +1 = 0 m =-1: Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt * Với 0<m+1<1  -1<m<0: Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt * Với m+1 = 1  m = 0: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt * Với m +1 >1  m > 0: Phương trình (1) có một nghiệm. Áp dụng: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x- (m2 -1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt với hoành độ dương. Giải Miền xác định: D=IR , y’=3x 2 -6mx+3(m2-1) Δ’ = m 2 - m 2+1=1>0, với mọi m y’=0  xmax = m-1, xmin = m+1 Để phương trình(1) có 3 nghiệm dương phân biệt khi và khi:







      

   

     

  

 





 

  

 2 1 3 0 )1 (

0 1 ,0 1

0 )1 2 )( 3 )( 1 (

0 .

0 ,0

0 ,

0 '

2

2 2 2

min max

min max m m

m m

m m m m

d a

x x

y y

ThuVienDeThi.com

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Toán 12

Ví dụ 2:Cho hàm số x 3 y x 2    có đồ thị (C)

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + 1 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt Giải: 1/ - TXĐ D=R\ 2

- 2 ;

) 2 (

1  

x y >0 với mọi x D 

- TCĐ x=2 vì    

    2 2

lim ; lim

x x

y y

- TCN y= 1 vì 1 lim    x y

- Bảng biến thiên: x=0 => y=3/2 y=0 => x=3 2/ Phương trình hoành độ của (C ) và đường thẳng y mx 1   :

x 3 2 mx 1 g(x) mx 2mx 1 0 , x 1 x 2         (1)

Để (C ) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2

 







   





0 2

0

0

2 ;

g

m m

m









    

0 1

1 0 0

m m m

1 0     m m

Áp dụng: Cho hàm số 4 2 1 y x 2x 4   có đồ thị (C)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 thỏa   0 y'' x 1  Giải:

a/ 4 2 1 y x 2x 4   , TXĐ: D  R , 3 y' x 4x   , 3 x 0 y 0 y' 0 x 4x 0 x 2 y 4          

- Giới hạn:

xlim y

 ;

xlim y

 

Bảng biến thiên

x −∞ −2 0 2 +∞ y' + 0 − 0 + 0 − y 4 4 −∞ 0 −∞ *Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞;−2) và (0;2). *Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (−2;0) và (2;+∞) *Hàm số đạt cực đại tại x 2 , yCĐ = 4 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 0 *Điểm đặc biệt:    2;0 ; 2;0 

b/Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 thỏa   0 y'' x 1 

3 y' x 4x   , 2 y'' 3x 4  

2

7 x 1 y 4 y'' 0 x 1 7 x 1 y 4

    

 



1

2

x 1 k 3

x 1 k 3

 

  Pttt: 5 5 y 3x ;y 3x 4 4    

4

2

x

y

O 2 -2

ThuVienDeThi.com