Đề khảo sát chất lượng lớp 12 lần cuối - Năm 2013 môn Toán - THPT chuyên ĐH Vinh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN CUỐI - NĂM 2013

Môn: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số . 2 1 

 x

x y

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số đã cho. b) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (H). Viết phương trình tiếp tuyến d của (H) tại điểm M thỏa

mãn IM vuông góc với d.

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình . 2 cos 2 sin ) cos 2 3 ( 2 cos ) 2 cos 3 (       x x x x x

Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình ). , ( 1 2 3 3

) 2 ( 8 4 2 2

  

 

   

    y x y y x

x x y xy

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân . d 4

1

0

2

3    x x

x I

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, 5. AD a  Tam giác SAB nằm trong mặt

phẳng vuông góc với đáy, , SA a  , 2 a SB  0 120 . ASB   Gọi E là trung điểm của AD. Tính thể tích

khối chóp S.ABCD và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCE theo a.

Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số dương a, b phân biệt thỏa mãn . 12 2 2  b a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

. ) ( 8

5 4 4

2 4 4 b a b a P

   

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a hoặc phần b)

a. Theo chương trình Chuẩn

Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có   1; 3 , A     5;1 . B Điểm M

nằm trên đoạn thẳng BC sao cho 2 . MC MB  Tìm tọa độ điểm C biết rằng 5 MA AC   và đường thẳng BC có hệ số góc là một số nguyên.

Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng : 0, x y z    

: 2 2 0. x y z     Viết phương trình mặt cầu  S có tâm thuộc ,  có bán kính bằng 3, tiếp xúc

với   tại M, biết rằng điểm M thuộc  . Oxz

Câu 9.a (1,0 điểm). Tìm số phức z thỏa mãn .| |) 1( ) 1(

1 z i z i

i z   

 

b. Theo chương trình Nâng cao

Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, có trực tâm   3;2 . H 

Gọi D, E là chân đường cao kẻ từ B và C. Biết rằng điểm A thuộc đường thẳng : 3 3 0, d x y    điểm   2;3 F  thuộc đường thẳng DE và 2. HD  Tìm tọa độ điểm A.

Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm   1;3;2 , A   3;2;1 B và mặt phẳng

: 2 2 11 0. P x y z     Tìm điểm M trên  P sao cho 2 2 MB  và 0 30 . MBA  

Câu 9.b (1,0 điểm). Tìm số nguyên dương n thỏa mãn

. 2013

1 1 2

2 ... 5 4 4 3 3 2 2 1 2 2 4 2 3 2 2 2 1 2        n n n n n n C n

n C C C C

---------------------------- Hết --------------------------

Ghi chú: BTC sẽ trả bài vào các ngày 22, 23/6/2013. Khi nhận bài thi, thí sinh phải nộp lại Phiếu dự thi.

Chúc các em học sinh đạt kết quả cao trong Kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng năm 2013!

www.MATHVN.com

www.DeThiThuDaiHoc.com

ThuVienDeThi.com

1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN CUỐI - NĂM 2013

Môn: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút

Câu Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) 10. Tập xác định: }. 2 { \  20. Sự biến thiên: * Giới hạn tại vô cực: Ta có 1 lim    y x và .1 lim    y x

Giới hạn vô cực:     y x ) 2 (lim và . lim

) 2 (     y x

Suy ra đồ thị (H) có tiệm cận ngang là đường thẳng ,1  y tiệm cận đứng là đường thẳng .2  x

* Chiều biến thiên: Ta có .2 ,0 ) 2 (

1 ' 2       x x y

Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng   2 ;   và  . ;2  

0,5

* Bảng biến thiên:

30. Đồ thị:

Đồ thị cắt Ox tại  , 0 ;1 cắt Oy tại ); 2 1 ;0 (

nhận giao điểm )1 ;2 (I của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

0,5

b) (1,0 điểm)

Gọi 2 , 2 1 ; 0 0

0 0   

  





 x x

x x M là tiếp điểm. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại M là

2 1 ) ( ) 2 (

1 :

0

0 0 2 0 

      x

x x x x y d , hay .0 ) 2 2 ( ) 2 ( : 0 2 0 2 0       x x y x x d

Suy ra VTCP của d là  1 ; ) 2 ( 2 0    x ud . Ta có )1 ;2 (I nên  

  



   2 1 ;2

0 0 x x IM .

0,5

Câu 1.

(2,0 điểm)

Do đó IM vuông góc với d 0 .   d u IM 1 ) …