Chuyên đề Phương pháp giải một số dạng bài tập khảo sát hàm số trong kỳ thi tuyển sinh ĐH

2

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP

KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG KỲ THI TSĐH

Phần một: Các bài toán liên quan đến điểm cực đại cực tiểu A) Cực đại cực tiểu hàm số bậc 3: 3 2 ax y bx cx d     * ) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu là: y’=0 có 2 nghiệm phân biệt * ) Hoành độ điểm cực đại cực tiểu kí hiệu là 1 2 , x x khi đó 1 2 , x x là 2 nghiệm của phương trình y’=0 * ) Để tính tung độ điểm cực đại cực tiểu ta nên dùng phương pháp tách đạo hàm để tính phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Cơ sở của phương pháp này là: nếu hàm số bậc 3 đạt cực đại cực tiểu tại 1 2 , x x thì

1 2 '( ) '( ) 0 f x f x  

+ Phân tích '( ). ( ) ( ) y f x p x h x   . Từ đó ta suy ra tại 1 2 , x x thì 1 1 2 2 ( ); ( ) ( ) y h x y h x y h x     là đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Kí hiệu k là hệ số góc của đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

* ) Các câu hỏi thường gặp liên quan đến điểm cực đại cực tiểu hàm số bậc 3 là: 1) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu của hàm số song song với đường thẳng y=ax+b + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Giải điều kiện k=a

2) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=ax+b + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

+ Giải điều kiện k= 1 a 

Ví dụ 1) Tìm m để 

3 2 7 3 f x x mx x     có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông

góc với đường thẳng y=3x-7. Giải: hàm số có cực đại, cực tiểu  2 '( ) 3 2 7 0 f x x mx    có 2 nghiệm phân biệt

2 21 0 21 m m      . Thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta có:

 

2 1 1 2 7 . 21 3 3 9 9 9

m f x x m f x m x                

. Với 21 m 

www.VNMATH.com

thì f’(x)=0 có 2 nghiệm x1, x2

w

phân biệt và hàm số f(x) đạt cực trị tại x1,x2.

ww.VNMATH.com

http://megabook.vn/ ThuVienDeThi.com

3

Do

1

2

( ) 0

( ) 0

f x

f x

     

nên



 

2 1 1

2 2 2

2 7 (21 ) 3 9 9 2 7 (21 ) 3 9 9

m f x m x

m f x m x

          

.

Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT có phương trình    2 2 7 : 21 3 9 9

m y m x    

Ta có 

  2 2 2

21 21 21 3 7 2 3 45 21 .3 1 21 9 2 2

m m m y x

m m m

                           

3 10

2 m  

3) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với trục Ox một góc  + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Giải điều kiện tan k  

Ví dụ 1) Cho hàm số 2 3 2 3     mx x x y (1) với m là tham số thực Tìm m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân. Giải: Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

' 9 3 0 3 m m     3 2 1 2 3 2 ( 1). ' ( 2) 2 3 3 3 m m y x x mx x y x         

Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình

3 2 ) 2 3 2 ( m x m y     

Đường thẳng này cắt 2 trục Ox và Oy lần lượt tai        

 



 

3 6 ; 0 , 0 ;) 3 ( 2

6 m B m m A

Tam giác OAB cân khi và chỉ khi OA OB 

6 6 2( 3) 3

9 3 6; ; 2 2

m m m

m m m

    

   

Với m = 6 thì O B A   so với điều kiện ta nhận 2 3   m

Chú ý: Ta có thể giải bài toán theo cách: Đường thẳng qua CĐ, CT tạo với 2 trục tọa độ tam giác cân nên hệ số góc của đường thẳng là

9 ( ) 2 2 tan 45 1 2 1 3 3 ( ) 2

m L m k

m TM

        

www.VNMATH.com



w w.VNMATH.com



w.VNMATH.com

http://megabook.vn/ ThuVienDeThi.com