Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

GT12- KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN. Trang 1

BÀI 1. Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.

 Tính đơn điệu của hàm số: Cho hàm số có đạo hàm trong khoảng (a;b). ( ) y f x 

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) ' '( ) 0, ( ; ) y f x x a b     ( ) y f x 

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) ' '( ) 0, ( ; ) y f x x a b     ( ) y f x 

 Chú ý.

+ Điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu trên : 2 ax bx c   R

* 2 0 ax bx c    0 , 0

a x      R

* 2 0 ax bx c    0 , 0

a x      R

* 2 0 ax bx c    0 , 0

a x      R

*

2 ax bx c   0 0, 0

a x       R

+ Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng (a;b). ( ) y f x 

Nếu [ hoặc ] và chỉ '( ) 0, ( ; ) f x x a b   '( ) 0, ( ; ) f x x a b   '( ) 0 f x  tại một số hữu hạn điểm của khoảng (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến [ hoặc nghịch biến ] trên khoảng (a;b). Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) b) c) 3 2 2 3 1 y x x   

4 2 2 5 y x x   

2 3 x y x

 

d) e) d)

3

2 2 4 1 3 x y x x     3 2 1

x y x   

2 2 3 2 x x y x     Bài 2. Chứng minh rằng

a) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó; 2 2 x y x

  

b) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

2 2 3 1 x x y x     

Bài 3. Chứng minh các hàm số sau đây đồng biến trên : Trang2 R

a) b) . 3 2 6 17 4 y x x x    

3 cos 4 y x x x    

Bài 4. Với giá trị nào của m hàm số nghịch biến trên ? 3 y mx x   R

Bài 5. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên . 3 2 1 4 3 3 y x mx x     R

Bài 6. Chứng minh rằng 2sin tan 3 , (0; ). 2 x x x x    

--------------------------------------------

BTVN

Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) b) c) 1 1

2 y x x    2 3

1 x y x  

1 3

x y

x  

Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) b) c)

3 2 2 3 2 6 3 5 x x x y     2 y x x   3 4 5 1 x y x   

d) e) f) 2 1 x y x  

2 2

1 x x y x

 

2 2 y x x  

Bài 3. Cho hàm số 2 ( ) sin cos . f x x x  

a) Chứng minh hàm số đồng biến trên đoạn và nghịch biến trên đoạn . [0; ] 3  [ ; ] 3 

b) Chứng minh với mọi , phương trình có nghiệm ( 1;1) m 2 sin cos x x m  

duy nhất thuộc đoạn . [0; ]  Bài 4. Chứng minh:

a) b)

3 tanx , (0; ). 3 2 x x x     sin tan 2 , (0; ). 2 x x x x    

Bài 5. Với giá trị nào của a, hàm số nghịch biến 3 2 1 2 (2 1) 3 2 3 y x x a x a      

trên . A

ThuVienDeThi.com

BÀI 2. Cực trị - GTLN, GTNN của hàm số. Trang3

 Cực trị của hàm số:

+ Đk cần: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm và có đạo hàm tại thì . Hàm số đạt cực trị tại nếu . 0x 0x 0 '( ) 0 f x  ( ) y f x  0x 0 '( ) 0 y x 

+ Đk đủ: *Đlí 1: Cho hàm số liên tục trên khoảng (a ; b) chứa điểm . ( ) y f x  0x

-Nếu đạo hàm đổi dấu từ + sang – khi đi qua thì hàm số đạt 'y 0x ( ) y f x 

cực đại tại 0x

- Nếu đạo hàm đổi dấu từ – sang + khi đi qua thì hàm số đạt 'y 0x ( ) y f x 

cực tiểu tại 0x

* Đlí 2: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp một trên khoảng (a ; b) chứa điểm , ( ) y f x  0x

và có đạo hàm cấp 2 khác không tại điểm . 0 '( ) 0 f x  0x

- Nếu thì hàm số đạt cực đại tại . 0 ''( ) 0 f x  ( ) y f x  0x

- Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại . 0 ''( ) 0 f x  ( ) y f x  0x

 Phương pháp tìm GTLN, GTNN: Cách 1: Lập bảng biến thiên của hàm số trên trên khoảng hoặc đoạn đã cho. Cách 2: Tìm các điểm cực trị thuộc đoạn [a;b] rồi tính giá trị của hàm số tại a, b và tại các điểm cực trị tìm được để suy ra GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a;b] . Cách 3: Dùng định nghĩa

Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) b) c) 3 2 5 3 4 5 y x x x     4 2 3 4 1 y x x    9 3 . 2 y x x   

d) e) f)

2

2

8 24 ( ) 4 x x f x x     ( ) 3 f x x x  

2 ( ) 2 2. f x x x   

Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) 2 sin 3 cos , [0; ]. y x x x    

b) 2sinx+cos2 , [0; ]. y x x   

Bài 3. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số đạt cực tiểu tại 3 2 y x ax bx c    

điểm và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2. 1, (1) 3 x …