Bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Chương 1

Khảo sát sựbiến thiên và vẽđồthịhàm số

1.1 Tính đơn điệu của hàm số

1.1.1 Định lí

Giảsửhàm y = f (x) có đạo hàm trên khoảng I.

• Nếu f ′(x) > 0, ∀x ∈I (f (x) = 0 tại một sốhữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.

• Nếu f ′(x) < 0, ∀x ∈I (f (x) = 0 tại một sốhữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.

• Nếu f ′(x) = 0, ∀x ∈I thì f là hàm hằng trên I.

1.1.2 Xét sựbiến thiên của hàm số

Đểxét chiều biến thiên của hàm sốy = f (x), ta thực hiện các bước như sau:

x Tìm tập xác định của hàm số.

y Tính y′. Tìm các điểm mà tại đó y′ = 0 hoặc y′ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn).

z Lập bảng xét dấu y′ (bảng biến thiên). Từđó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

1.1.3 Bài tập

1. Xét chiều biến thiên của các hàm sốsau:

a) y = 3x2 −8x3

b) y = x3 −2x2 + x−2

c) y = (4−x)(x−1)2

d) y = x3 −3x2 +4x−1

e) y = 1

3 x3 + x2 + x+1

f) y = 1

4 x4 −2x2 −1

g) y = −x4 −2x2 +3

h) y = x4 +8x3 +5

i) y = 2x−1

x+5

j) y = x−1

2−x

k) y = 1− 1 1−x

l) y = 2x−1

x2

m) y = 4x2 −15x+9

3x

n) y = 2x2 + x+26

x+2

o) y = −x+3− 1 1−x

p) y = x2 −1

x2 −4

q) y = x2 −x+1

x2 + x+1

r) y = x x2 −3x+2

s) y = 1

(x−5)2

2. Xét chiều biến thiên của các hàm sốsau:

a) y = −6x4 +8x3 −3x2 −1

b) y = 9x7 −7x6 + 7

5 x5 +12

c) y = p

2x−x2

d) y = x+3+2 p

2−x

e) y = p

2x−1− p

3−x

f) y = x p

2−x2

g) y = px x+100

h) y = x p

16−x2

3. Xét sựđồng biến, nghịch biến của hàm số

a) y = x−sinx trong [0;2π]

b) y = sin2x ³ −π

2 < x < π

2

´

c) y = x+2cosx, x ∈ µπ

6 ; 5π

6

¶

d) y = sin2x−x, ³ −π

2 < x < π

2

´

4. Chứng minh rằng:

1 ThuVienDeThi.com

© Nguyễn Hồng Điệp LATEX2015 12

a) y = x−2

x+2 đồng biến trên mỗi khoảng xác định của

nó

b) y = −x2 −2x+3

x+1 nghịch biến trên mỗi khoảng xác

định

c) y = −x+ p

x2 +8 nghịch biến trên R

d) y = x3 −6x2 +17x+4 đồng biến trên R

e) y = p

2x−x2 nghịch biến trên [1;2]

f) y = p

x2 −9 đồng biến trên [3;+∞)

g) y = x+ 4

x nghịch biến trên [−2;0) và (0;2]

h) y = x2 −2mx−1

x−m đồng biến trên R

i) y = −sinx+4x đồng biến trên R.

j) y = x3 + x−cosx−4 đồng biến trên R

k) y = cos2x−x nghịch biến trên R

l) y = cos2x−2x+3 nghịch biến trên R

m) y = 3x−sin(3x+1) đồng biến trên R

n) y = −5x+cot(x−1) nghịch biến trên R

o) y = cosx−x nghịch biến trên R

p) y = sinx−cosx−2 p

2x nghịch biến trên R

5. Chứng minh rằng:

a) y = x−2

x+2 đồng biến trên mỗi khoảng xác định của

nó

b) y = −x2 −2x+3

x+1 nghịch biến trên mỗi khoảng xác

định

c) y = −x+ p

x2 +8 nghịch biến trên R

d) y = x3 −6x2 +17x+4 đồng biến trên R

e) y = x3 + x−cosx−4 đồng biến trên R

f) y = cos2x−x nghịch biến trên R

g) y = cos2x−2x+3 nghịch biến trên R

h) y = p

2x−x2 nghịch biến trên [1;2]

i) y = p

x2 −9 đồng biến trên [3;+∞)

j) y = x+ 4

x nghịch biến trên [−2;0) và (0;2]

k) y = 3x−sin(3x+1) đồng biến trên R

l) y = x2 −2mx−1

x−m đồng biến trên R

m) y = −5x+cot(x−1) nghịch biến trên R

n) y = cosx−x nghịch biến trên R

o) y = sinx−cosx−2 p

2x nghịch biến trên R

6. Chứng minh rằng:

1) sinx < x, ∀x > 0

2) sinx > x, ∀x < 0

3) x−x3

6 < sinx, ∀x > 0

4) x−x3

6 > sinx ∀x < 0

5) sinx < x−x3

6 + x5

120 x > 0

6) cosx > 1−x2

2 , ∀x ̸= 0

7) phương trình x3 −3x + c = 0 không thểcó hai nghiệm thực trong đoạn [0,1].

1.1.4 Điều kiện biến thiên của hàm số

x Hàm đa thức f (x) đồng biến trên D khi và chỉkhi

f ′(x) Ê 0,∀x ∈D

y Hàm đa thức f (x) nghịch biến trên D khi và chỉkhi

f ′(x) É 0,∀x ∈D

z Hàm nhất biến f (x) = ax+ b

cx+ d đồng biến trên mỗi

khoảng xác định khi và chỉkhi

f ′(x) > 0,∀x ∈D

{ Hàm nhất biến f (x) = ax+ b

cx+ d nghịch biến trên mỗi

khoảng xác định khi và chỉkhi

f ′(x) < 0,∀x ∈D

| Tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx+ c = 0, (a ̸= 0)

• f (x) ≥0,∀x ∈R ⇔ ½ ∆≤0 a > 0

• f (x) ≤0,∀x ∈R ⇔ ½ ∆≤0 a < 0

1.1.5 Bài tập

1. Tìm các giá trịcủa tham sốm để

a) y = x3 −3mx2 +(m −2)x−1 đồng biến trên R. Đs: −2

3 É m É 1

b) y = −x3

3 +(m−2)x2 +(m−8)x+1 nghịch biến trên tập xác định. Đs: −1 É m É 4

c) y = 1

3 x3+mx2+(m−6)x−2m−1 đồng biến trên R.

d) y = −x3

3 +(m−2)x2 …