Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT HÀM SỐ

Thầy: Huy, ĐT: 0978 688 611 “Các yếu tố của nghệ thuật học tập là ý chí, trật tự và thời gian” -1-

⧫ Bài 1: QUAN HỆ GIỮA ĐẠO HÀM VÀ SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

1. Tính đơn điệu của hàm số: a. Định nghĩa: + Hàm số f (x) được gọi là đồng biến trên D nếu 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ) x x D x x f x f x      + Hàm số f (x) được gọi là nghịch biến trên D nếu 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ) x x D x x f x f x      b. Định lý:

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) ( ) y f x  ' 0, ( ; ). y x a b    + Hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) ( ) y f x  ' 0, ( ; ). y x a b    2. Cực trị của hàm số: + Hàm số đạt cực trị tại nếu . ( ) y f x  0x 0 '( ) 0 y x 

+ Hàm số đạt cực đại tại nếu đạo hàm đổi dấu từ + sang – khi đi qua . ( ) y f x  0x 'y 0x

+ Hàm số đạt cực tiểu tại nếu đạo hàm đổi dấu từ – sang + khi đi qua . ( ) y f x  0x 'y 0x y

f(x1)

f(x2)

x1 x2

Định lý . Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm x0,  f ’(x0) = 0 và f(x) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.

+ Nếu f ’’(x0) < 0 thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x0. + Nếu f ’’(x0) > 0 thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x0. + Nếu f ’’(x0) = 0 thì hàm số f(x) không có cực trị.

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Bài 1: Xét tính đơn điệu và cực trị của hàm số y = f(x). 

a. Qui tắc 1: + B1: Tìm tập xác định (giả sử D = R, a < 0) + B2: Tính f ’(x) và giải phương trình f ’(x) = 0 BBT: + B3: Lập bảng biến thiên và kết luận x -∞ x1 x2 x3 +∞ b. Qui tắc 2: + Tính f ’’(x) và tính f ’’(xi).(xi là nghiệm pt f ’(x)) f ’(x) + 0 - 0 + 0 - + Nếu f ’’(x) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi. + Nếu f ’’(x) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi. f(x) CĐ CĐ + Nếu f ’’(x) = 0 thì hàm số không có cực trị. CT ⧩ Chú ý: Cách xét dấu của phương trình. + Ta xét dấu từ phải sang trái, bên phải cùng dấu với hệ số a (nếu phương trình tích, thương thì cùng dấu tích các hệ số a) qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi dấu.

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến và cực trị của các hàm số sau: 

a) b) c) d) 3 2 2 2 y x x x    

4

2 3 2 2 x y x    2 1 5 x y x

  

2 2 26 2 x x y x

   

e) f) g) h) 2 1 3 y x x    2 2 y x x   3 4 ( 2) ( 1) y x x    2 2 y x x x   

d b

c a x

ThuVienDeThi.com

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT HÀM SỐ

Thầy: Huy, ĐT: 0978 688 611 “Các yếu tố của nghệ thuật học tập là ý chí, trật tự và thời gian” -2-

Ví dụ 2: Tìm cực trị của các hàm số sau: 

a) b) c) x x y   2 sin x x y 2 sin 2  

2 sin 3 cos , [0; ]. y x x x    

Bài 2: Xác định tham số để hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) 

a. Tìm m để hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến) trên tập xác định B1: Tìm tập xác định D B2: Tính f ’(x) + Hàm số f(x) đồng biến trên D khi và chỉ khi f ’(x) 0  x D  + Hàm số f(x) nghịch biến trên D khi và chỉ khi f ’(x) 0  x D 

Chú ý. + + 

  

 

       0 0 ,0 2 a R x c bx ax

  

 

       0 0 ,0 2 a R x c bx ax

+ Nếu a chứa tham số phải xét trường hợp a = 0 b. Tìm m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (α, β) d cx bx ax x f     2 3 ) ( B1: Tìm tập xác định D B2: Tính f ’(x) Cách 1: Nếu tham số m có mũ bậc nhất. + Hàm số f(x) đồng biến trên (α; β) f ’(x) 0 ∀x ∈ (α; β)   ( ) m g x   ax ( ) m M g x  

+ Hàm số f(x) nghịch biến trên (α; β) f ’(x) 0 ∀x ∈ (α; β)   ( ) min ( ) m g x m g x    

Cách 2: Nếu tham số m có mũ bậc hai và phương trình f ’(x) có ∆ = (km + h)2

→ f ’(x) có hai nghiệm x1 , x2 với x1 < x2

+ f(x) đồng biến (α; β) nghịch biến (α; β)

2 1

2

1

0

0

x x a

x

x a

    







   

 





2 1

2

1

0

0

x x a

x

x a

    







   

 





+ f(x) đồng biến (-∞; α) ⇔ a > 0, x1 > α, nghịch biến (-∞; α) ⇔ a < 0, x1 > α, + f(x) đồng biến (α; +∞) ⇔ a > 0, x2 < α, nghịch biến (α; +∞) ⇔ a < 0, x2 < α,

c. Hàm số y = có TXĐ: D = , d cx

b ax





 c

d R \ 2 /

) ( d cx

bc ad y 

 

+ Hàm số f(x) đồng biến (-∞; α) , f(x) nghịch biến (-∞; α)   

 

    c d

bc ad

/

0

 …