Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số và Các Bài Toán Liên Quan

Ôn Thi Đại Học Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số và Các Bài Toán Liên Quan

Th.s Lê Quốc Sang. SĐT: 0169.9711027 Trang 1

KHẢO SÁT HÀM SỐ CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN

******* I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1)ĐỊNH LÍ MỞ RỘNG VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Định lí : Cho hàm số xác định trên khoảng . ( ) y f x = K  đồng biến trên K . ( ) f x '( ) 0, f x x K Û ³ " Î

 nghịch biến trên K . ( ) f x ( ) ' 0, f x x K Û £ " Î

(chỉ xét trường hợp tại một số hữu hạn điểm trên khoảng ) '( ) 0 f x = K 2) NHẮC LẠI KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TAM THỨC BẬC HAI

a) Định lí về dấu của tam thức bậc hai : 2 ( ) g x ax bx c = + + Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a với mọi . x Î ¡

Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a với mọi , tại thì . \ 2

b x a

ì ü ï ï ï ï Î -í ý ï ï ï ï î þ ¡ 2

b x a = - ( ) 0 g x =

Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a, (trong trái - ngoài cùng).

b) Tam thức không đổi dấu trên 2 ( ) ( 0) g x ax bx c a = + + ¹ ¡

  0 ( ) 0, 0 a g x x R

ìï > ï ³ " Î Û íï D £ ïî

0 ( ) 0, 0 a g x x R

ìï < ï £ " Î Û íï D £ ïî

c) So sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với số 0: 1 2 ; x x 2 ( ) g x ax bx c = + +

   1 2

0 0 0 0 x x P S

ìï D > ïïï < < Û > íïï < ïïî

1 2

0 0 0 0 x x P S

ìï D > ïïï < < Û > íïï > ïïî

1 2 0 0 x x P < < Û <

3) CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:

a) b) c) 4 2 1 3 1 4 2 y x x = - + + 4 3 1 12 2 y x x x = + - - 2 7 12 y x x = - +

Lời giải

a) . 4 2 1 3 1 4 2 y x x = - - +

TXĐ . D = ¡ 3 ' 3 0 0; 3 y x x x x = - + = Û = = ± BBT:

x 0 - ¥ 3 - 3 + ¥ ' y + 0 - 0 + 0 - y

1 - ¥ 13

4

13

4 - ¥

Vậy hàm số đồng biến trên ; nghịch biến trên ( ; 3);(0; 3) - ¥ - ( 3;0);( 3; ) - + ¥

b) 4 3 1 12 2 y x x x = + - -

Tập xác định: . D = ¡

Đạo hàm: 3 2 2

1 ' 2 3 1 0 ( 1) (2 1) 0 1 2

x y x x x x

x

é = - êê = + - = Û + - = Û ê = êë

ThuVienDeThi.com

Ôn Thi Đại Học Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số và Các Bài Toán Liên Quan

Th.s Lê Quốc Sang. SĐT: 0169.9711027 Trang 2

Do là nghiệm bội 2 nên y' không đổi dấu khi đi qua . 1 x = - x 1 - BBT:

x -1 - ¥ 1 2 + ¥

' y - 0 - 0 + y - ¥ + ¥

Vậy hàm số nghịch biến trên và đồng biến trên 1 ; 2

æ ö÷ ç ÷ - ¥ ç ÷ ç ÷ çè ø

1; 2

æ ö÷ ç ÷ + ¥ ç ÷ ç ÷ çè ø

c) . 2 7 12 y x x = - +

TXĐ . ( ;3] [4; ) D = - ¥ È + ¥

2

2 7 7 ' 0 2 2 7 12

x y x x x

- = = Û = - + Dấu của là dấu của nhị thức . Do đó, ta có bảng biến thiên ' y 2 7 x -

x 3 4 - ¥ 7 2 + ¥

' y - || ////// 0 /////// || + y | //////////////////| + ¥ + ¥ 0 0 Vậy hàm số nghịch biến trên và đồng biến trên ( ;3) - ¥ (4; ) + ¥

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: với

3

sin 6 x x x x - < < 0 x >

Lời giải

BĐT  với 3 sin ( )

sin ( ) 6

x x a

x x x b

ìï < ïïïíï - < ïïïî

0 x >

a) Ta chứng minh với sinx x < 0 x > Xét hàm số . ( ) sin f x x x = - (0) 0 f =

Ta có: ,  nghịch biến trong . ( ) cos 1 0 f x x ¢ = - £ (0; ) x " Î + ¥ ( ) f x (0; ) + ¥

 với  với ( ) (0) f x f < 0 x > sin 0 x x - < 0 x >

b) Ta chứng minh với

3

sin 6 x x x - < 0 x >

Xét hàm số . Ta có

3 ( ) sin 6 x f x x x = - +

2 ( ) cos 1 ( ) 2 x f x x g x ¢ = - + =

với > 0  đồng biến  với Þ ( ) sin 0 g x x x ¢ = - + > x ( ) g x ( ) (0) 0 g x g > = 0 x >

hay với  đồng biến  với ( ) 0 f x ¢ > 0 x > ( ) f x ( ) (0) 0 f x f > = 0 x >

 hay < với

3 sin 0 6 x x x - + >

3

6 x x - sinx 0 x >

Từ a) và b) với Þ

3

sin 6 x x x x - < < 0 x >

Ví dụ 3. Cho hàm số . Tìm để hàm số luôn đồng biến trên . 2 3 2 1( ) 2 3 1 3 y m m x mx x = - + + - m ¡

Lời giải

ThuVienDeThi.com