Đề kiểm tra học kì II môn Toán lớp 11

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II (2014 – 2015)

Môn: Toán 11

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1:(1,5 điểm) Tính các giới hạn sau:

a)

2

2 2

4 lim 2 6 x

x x x 

  

b)   2 lim 2 1 4 1 x x x x    

Câu 2: (2,0 điểm)

1) Xét tính liên tục của hàm số sau tại x = - 2

         

2 3 2 2 ( ) 2 3 2

x x khi x f x x

khi x 2) Chứng minh rằng phương trình 4x4 + 2x2 – x – 3 = 0 có ít nhất một nghiệm.

Câu 3:(3,5 điểm)

1) Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)

3 2 3 2 3 4 1 y x x x x     

b)   2 1 1 y x x   

c)

4 2 sin 3 cos 4 y x x  

2) Cho hàm số . Giải bất phương trình: 

4 2 3 1 y f x x x     4 ' " 6 10 0 y xy y x     

3) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với 2 1 x y x

   đường thẳng (d): . 4 3 1 0 x y  

Câu 4:(3,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB = a. Biết SA ⊥ (ABCD); SA = a 3

1) Chứng minh rằng: BC ⊥ (SAB).

2) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD)

3) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tính cosin của góc tạo bởi (SBD) và (ABCD).

4) Tính khoảng cách từ điểm C đến mp (SBD).

----Hết---- ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN 11

ThuVienDeThi.com

CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM

1 a)

2

2 2

4 lim 2 6 x

x x x 

  

0,75đ

=

2

2 2

4 lim 2 6 x

x x x 

  

      2

2 . 2 lim 2 2 3 x

x x x x 

   

0,25đ

= =  

2

2 lim 2x 3 x

x



  

4 7 

0,25đx2

1

b)   2 lim 2 1 4x 1 x x x     0,75đ

     2 2 2

2

2

2 1 4 1 lim 2 1 4 1 lim

2 1 4 1 3 3 lim 4 1 1 1 2 4

x x

x

x x x x x x

x x x x

x x x x

 



       

                

0,25đ

0,25 x2

2.a) Xét tính liên tục của hàm số sau tại x = - 2

         

2 3 2 2 ( ) 2 3 2

x x khi x f x x

khi x

1,00đ

   2

2 2

1 2 3x 2 lim lim 1 2 2  

        x x

x x x

x x

0,25đ

f(-2) = 3 0,25đ

2

2

3x 2 lim ( 2) 2 

     x

x f x

0,25đ

Vậy f(x) không liên tục tại x = -2 0,25đ

2.b) Chứng minh rằng phương trình 4x4 + 2x2 – x – 3 = 0 có ít nhất một nghiệm.

1,00đ

Đăt f(x) = 4x4 + 2x2 – x – 3, f(x) liên tục trên R f(x) liên tục trên [0; 1] 0,25đ

f(0) = -3; f(1) = 2 0,25đ

 f(0).f(1) < 0  tồn tại c ∈ (0;1) sao cho f(c) = 0 0,25đ

 4x4 + 2x2 – x – 3 = 0 luôn có ít nhất một nghiệm 0,25đ

3.1 3 2 3 2 3 4 1 y x x x x        2 1 1 y x x    4 2 sin 3 cos 4 y x x   1,50đ

3.a) 3 2 3 2 3 4 1 y x x x x     

0,25đx2

ThuVienDeThi.com

' 3 2 2

2 3 2 3 ' 2 3 4 1 6 6 y x x x x x x x x               

3.b)   2 1 1 y x x   

       

' ' 2 1 1 ' 2 1 ' 1 2 1 1

2 1 6 5 2 1

2 1 2 1

y x x x x x x

x x x

x x

       

      

0,25đ

0,25đ

3.c)       4 2 3

3 3 ' sin 3 cos 4 ' 4sin 3 sin3 ' 2cos4 cos4 '

12sin 3 cos3 8cos4 sin 4 12sin 3 cos3 4sin8

y x x x x x x

x x x x x x x

   

   

0,25đ

0,25đ

3.2 1. Cho hàm số . Giải bất phương trình: 

4 2 3 1 y f x x x    

4 ' " 6 10 0 y xy y x     

1,00đ

3 ' 4 6 y x x   0,25đ

2 " 12 6 y x   0,25đ

    4 2 3 2

2

4 ' " 6 10 0

4 3 1 4 6 12 6 6 10 0

1 6 6 12 0 2

y xy y x

x x x x x x x

x x x x

    

        

       

0,25đ

Vậy nghiệm của bất phương trình là 1 2 x x

   

0,25đ

3.3 1. Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến 2 1 x y x

   vuông góc với đường thẳng (d): . 4 3 1 0 x y  

1,00đ

 4 1 : 3 3 d y x   0,25đ

Gọi tọa độ tiếp điểm là   0 0 ; M x y

Vì tiếp tuyến vuông góc với (d) nên  0

3 y' 4 x 

 

2 3 '

1 y

x 



Vậy  

0 2

0 0

1 3 3

3 4 1

x

x x

      

0,25đ

0,25đ

Với phương trình tiếp tuyến 0 0

1 1 2 x y    3 5 4 4 y x  

Với phương trình tiếp tuyến 0 0

5 3 2 x y   3 19 4 4 y x  

0,25đ

4.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB = a. Biết SA ⊥ 1,00đ

ThuVienDeThi.com