Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II Trường THCS – THPT Phan Châu Trinh

Trang 1

Phần 1- ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

CHƯƠNG IV GIỚI HẠN

§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A- KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số: 1. Các giới hạn đặc biệt:

 1 lim 0 n n  

 1 lim 0 ( *) k n k n   N

 lim ( *) 0 k n k c n   N

 nếu lim 0 n

n q   1 q 

 lim n C C  

2. Định lí :

a) Nếu thì lim ,lim n n u a v b  

 lim( ) lim lim n n n n u v u v a b     

 lim( ) llim lim n n n n u v u v a b     

 lim( . ) lim .lim . n n n n u v u v a b  

 (nếu ) lim li lim m n n

n n

u u a v v b   0 b 

b) Nếu và thì 0, n u n   lim nu a 

và 0 a  lim lim n n u a u  

II. Giới hạn vô cực của dãy số: 1. Các giới hạn đặc biệt:

 lim ( *) kn k  N

 lim ( 1) n q q  

 lim n 

 3 lim n  2. Các quy tắc tìm giới hạn vô cực:

ThuVienDeThi.com

Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II Trường THCS – THPT Phan Châu Trinh

Trang 2

a) Giới hạn của tích:

Quy tắc 1: .  lim ,lim n n u v  

lim n u lim nv lim( . ) n n u v

   

   

   

Quy tắc 2: .L   lim ,lim 0 n n u v L   

lim n u Dấu của L

lim( . ) n n u v

   

+

- +

-

   

b) Giới hạn của thương:

Quy tắc 1: : Nếu và thì 0 L   lim n u L  lim nv  lim 0 n

n

u

v 

Quy tắc 2: 0

L 

lim 0,lim 0 n n u L v    Dấu của L

Dấu của

nv lim n

n

u

v + +

- -

+

- +

-

   

* Khi tính giới hạn gặp một trong các dạng vô định: , ,  – , 0 0

  0. thì phải tìm cách khử dạng vô định. B- BÀI TẬP :

1. Tính các giới hạn sau :

ThuVienDeThi.com

Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II Trường THCS – THPT Phan Châu Trinh

Trang 3

a) b)

2

2 4 3 lim 7 n n n

 

3 2

3 5 3 1 lim 1 3 n n

n   

c) d)

2

3

10 lim 3 4 n n n n   

2 1 lim

5 n n

 

e) f)

3 3 5 lim 2 n n

n    2 lim 2 5 n n n n

 

g) h) 3 (2 1)(3 2)(4 3) lim 5 7 n n n n    

2 2

3 ( 1) ( 2) lim ( 1)(2 3) n n n n    

i) j)

3

4 2 2 3 lim 4 1 n n n n    2

2 lim 2 1 n n n n   2. Tính các giới hạn sau:

a) b) 3 2 lim 2

n

n  4 3 lim 5

n n

n 

c) d) 3 2 lim 1 2

n

n  

4 3 lim 4 3

n n

n n  

e) f)

1 1 3 2 lim 3 2

n n

n n

   

1 4.3 5 2 lim 3.2 5

n n

n n

    3. Tính các giới hạn sau:

a) b) 3 2 lim( 2 1) n n n    2 lim( 5 2) n n   

c) d)   2 lim n n n     lim 1 n n 

e) f)   2 2 lim 2 n n n      2 lim 2 n n n   

g) h)   2 lim 1 2 5 n n n      2 lim 2 n n n   

i) j)

3 2 2 lim 1 n n n   

3

2 3 5 1 lim 4 n n n

  

k) l)

3 2 3 2 lim 3 2 n n n    

6 3 7 5 8 lim 12 n n n n     4. Tính các giới hạn sau:

a) b) 3 lim( 2 3 5) n n    4 3 l 3 m 7 i 5 n n n  

ThuVienDeThi.com

Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II Trường THCS – THPT Phan Châu Trinh

Trang 4

c) d) 3 3 lim 1 2n n   3 lim 2 2 n n  

e) f) 1 lim

2 1 n n   

1 lim

3 2 2 1 n n   

§2.GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A- KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. Các giới hạn đặc biệt:



0

0 lim x x x x  

 (c là hằng số)

0 lim x x c c  

 với k nguyên dương lim k

x x  

 nếu k là số lẻ lim k

x x  

 nếu k là số chẵn lim k

x x  

 1 lim 0 x x  

 1 lim 0 k x x   với k nguyên dương.

II. Giới hạn hữu hạn:

Dạng 1: :

0

( ) lim ( ) x x

f x g x  

o thay x vaøo 0 0

    

ñathöùc hoocne

chứacăn lượngliênhợp

Phải đơn giản cho được lượng  0 ( ) x x

Chú ý: với là 2 nghiệm của 2

1 2 ( )( ) ax bx c a x x x x      1 2 , x x

phương trình . 0 ax bx c    III. Giới hạn tại vô cực:

Dạng 2 : : chia tử và mẫu cho với n là số mũ ( ) lim ( ) x

f x g x 

 

nx

cao nhất của tử và mẫu. Dạng 3: (có chứa căn): dùng lượng   lim ( ) ( ) x f x g x   

liên hợp sau đó đưa về dạng 2. IV. Giới hạn vô cực:

ThuVienDeThi.com