Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 7 năm học 2016 - 2017 môn thi Toán

Câu 1: (4,5 điểm)

1) Tính giá trị của biểu thức: 4 1 2 4 1 5 : : 9 15 3 9 11 22 A                

2) Tìm x, biết: 3 12 1 1 : 2 5 13 6 x          3) Tính giá trị của biểu thức M = 21x2y + 4xy2 với x, y thoả mãn: (x - 2)4 + ( 2y - 1)2014 0  Câu 2: (4,5 điểm)

1) Tìm các số x, y, z biết: và ; 3 4 6 8 x y y z   2 14. x y z   

2) Tìm x , biết: (x - 2)(x + ) > 0. 2 3

3) Tìm số nguyên x, biết rằng: 3 1 3 2 1 1 1 .15 .5 3 :7 6 . 2 7 3 7 5 2 2 3 x               Câu 3: (5,0 điểm) 1) Cho các số nguyên dương a, b, c, d, e, f biết :

và af – be = 1 Chứng minh : d ≥ b + f f e d

c b a  

2) Cho , . So sánh với . 1 1 1 1 1 ... 2 3 4 4026 A      1 1 1 1 1 ... 3 5 7 4025 B      A B

2013 12014 Câu 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D ( D khác B, C). Trên tia đối của tia CB, lấy điểm E sao cho CE = BD. Đường vuông góc với BC kẻ từ D cắt BA tại M. Đường vuông góc với BC kẻ từ E cắt tia AC tại N. MN cắt BC tại I.

1) Chứng minh rằng: DM = EN. 2) Chứng minh rằng IM = IN; BC < MN. 3) Gọi O là giao của đường phân giác góc A và đường thẳng vuông góc với MN tại I. Chứng minh rằng: . Từ đó suy ra điểm O cố định. BMO CNO   Câu 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao

cho (E nằm giữa B và D). Chứng minh rằng . A A DAE ABD  A A DAE ECB 

.............. Hết.............

TRƯỜNG THCS HỒ TÙNG MẬU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7

NĂM HỌC 2016-2017

MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

ThuVienDeThi.com

MÔN THI: TOÁN Câu Hướng dẫn Điểm

1) (1,5đ) 4 3 4 3 4 5 22 : : . 4 9 5 9 22 9 3 3 A               

1,5

2) (1,5đ) Ta có:  3 13 12 1 . 5 6 13 x    x   3 35

1,5

Câu1:

4,5đ 3) (1,5đ) Vì (x - 2)4 0; (2y – 1) 2014 0 với mọi x, y nên   (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 0 . Mà (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 0  

Suy ra (x - 2)4 = 0 và (2y – 1) 2014 = 0 suy ra x = 2, y = 1

2 Khi đó M = 44.

0,5 0,25 0,5

0,25

1) (1,5đ) Từ ; 3 4 6 8 x y y z   9 12 16 x y z   

Vậy: 2 2 14 1 9 12 16 18 12 16 18 12 16 14 x y z x y z x y z              Suy ra x = -9; y = -12; z = -16.

0,5

0,5

0,5

2) (1,5đ) Từ (x - 2)(x + ) > 0 suy ra x – 2 và x + cùng dấu. 2 3

2 3

Dễ thấy x – 2 < x + nên ta có: 2 3

 x – 2 và x + cùng dương x – 2 > 0 x > 2. 2 3  

 x – 2 và x + cùng âm x + < 0 x < - 2 3  2 3  2 3

Vậy x > 2 hoặc x < - . 2 3

0,25

0,5

0,5

0,25

Câu2:

4,5đ

3)(1,5đ) Ta có 3 1 3 2 3 1 2 3 .15 .5 . 15 5 .21 9 7 3 7 5 7 3 5 7            1 1 1 3 :7 6 . 2 14 2 2 3             Do đó: 9 x 14 vì x nguyên nên     9;10;11;12;13;14 x

0,5

0,5

0,5

1)(1,5đ) M = 4(x + y) + 21xy(x + y) + 7x2y2(x+ y) + 2014 = 2014 (Vì x + y = 0)

1,5

2)(2,0đ) Vì p(x) 5 với mọi x nguyên nên p (0) = d 5.   p (1) = a + b + c + d 5 (1)  p (- 1) = - a + b - c + d 5 (2)  Từ (1) và (2) suy ra : 2(b + d) 5 và 2(a + c) 5 .   Vì 2(b + d) 5, mà (2, 5) = 1 nên b+ d 5 suy ra b 5.    p (2) = 8a + 4b + 2c + d 5 mà d 5; b 5. nên 8a + 2c 5,     kết hợp với 2(a + c) 5 suy ra 6a 5 suy ra a 5 vì (6,5) = 1. từ đó c 5.     Vậy a, b, c, d đều chia hết cho 5.

0,25

0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

Câu3: (5.0đ)

3)(1,5đ) Đặt 1 1 1 1 ... 2 4 6 4026 C A B       

Ta có (1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 3 5 7 4025 4 6 4026 2 B C           

0,25

0,5 ThuVienDeThi.com