Đề đề xuất dự thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2010-2011 (Có đáp án)

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

PHÒNG GD&ĐT ĐỀ XUẤT DỰ THI HSG CẤP HUYỆN

Môn: Toán 7 NĂM HỌC: 2010-2011 (Thời gian làm bài: 120 phút)

Câu 1. (3điểm)

1) Có hay không một tam giác với độ dài ba cạnh là:

17 ; 1 5  ; 5 3

2) Thùc hiÖn phÐp tÝnh:

A = 

 

         

 

         9 8 25 1931 . 3862

11 1931

7 : 34 33 17 193 . 386

3 193

2

3) Chøng minh r»ng:

B = 2 1 99 . 98 98 . 97 97 . 96 .... 4.3 3.2 2.1

1. 98 2. 97 3. 96 .... 96 .3 97 .2 98 .1       

     

Câu 2. (1 điểm)

T×m x, y biÕt : (2x – 5) 2008+ (3y + 4)2010 ≤ 0

Câu 3. (2 điểm)

a) Cho a,b,c ,d là 4 số khác 0 thoả mãn b2 = ac và c2 = bd.

Chøng minh r»ng: d a d c b

c b a   

 

3 3 3

3 3 3

b) Cho S = abc bca cab   .

Chứng minh rằng S không phải là số chính phương

Câu 4. (4 điểm)

Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C

lấy điểm M sao cho NA = BA và NAB = 900. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa

điểm B lấy điểm M sao cho MA = CA và MAC = 900.

1) Chøng minh r»ng:

a) NC = BM

b) NC  BM.

2) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt MN tại K. chứng minh rằng K là

trung điểm của đoạn thẳng MN.

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

đáp án - biểu ®iÓm-DƯƠNG QUANG Câu 1. (3 điểm) 1) Trong ba số 17 ; 1 5  ; 5 3 thì 5 3 là số lớn nhất. Vậy nếu 17 + 1 5  > 5 3 thì sẽ tồn tại một tam giác với độ dài ba cạnh là 17 ; 1 5 ; 5 3 (0,25 điểm) Thật vậy : 17 > 4 16  (0,25 điểm) 1 5 > 3 1 4   => 17 + 1 5  > 7 = 49 > 45 = 5 3 2) (1 điểm)

A =               2 9 25 1931 . 3862

25 : 34 33 17 193 . 386

1 (0,5®)

A =               2 9 2 1 : 34 33 34

1 (0,25 ®)

A = 5

1 (0,25 ®)

3) (1 điểm)

Có 1.98 + 2.97 + 3.96 +… + 96.3 + 97.2+ 98.1 = (1 + 2 +3 +…+ 96+97+98) + (1+2+3+…+ 96+97)+…+ (1+2)+1 (0,5 điểm)

= 2

99 . 98 + 2

98 . 97 +…+ 2

3.2 + 2

2.1 (0,25 điểm)

= 2

99 . 98 98 . 97 .... 3.2 2.1    

=> B = 99 . 98 98 . 97 97 . 96 ..... 4.3 3.2 2.1

1. 98 2. 97 3. 96 ..... 96 .3 97 .2 98 .1

     

      = 2

1 (0,25 điểm)

Câu 2. (1 điểm) * Theo tính chất luỹ thừa bậc 2 ta có: (2x – 5)2008≥0 (0,25 điểm) (3y + 2x)2010 ≥ 0 => (2x - 5)2008 + (3y + 4)2010 ≥ 0 (1) (0,25 điểm) * Mà ta có (2x -5)2008 +(3y+4)2010 ≤ 0 (2) * Từ (1) và (2) ta có : (2x -5)2008 +(3y+4)2010 = 0 (0,25 điểm)  2x-5 = 0  x = 5/2 3y +4 = 0 y = - 4/3 (0,25 điểm) * Vậy x= 5/2 và y = -4/3 Câu 3. (2 điểm)

a, Ta có b2 = ac và b,c ≠ 0 => b a c b  (1) (0,25 điểm)

Tương tự ta có : d

c c b  (2)

* Từ (1) và (2) ta có : d

c c b b a   (0,25 điểm)

* §Æt d

c c b b a   = k (k≠ 0, do a,b,c ≠ 0)

Cã k3 = d a d

c c b b a  . . (3) (0,25 điểm)

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

k3 = 3 3 3

3 3 3

3

3

3

3

3

3

d c b

c b a d

c c b b a

 

     (4)

* Từ (3) và (4) ta có d a d c b

c b a   

 

3 3 3

3 3 3

(0,25 điểm)

b, S = (100a+10b+c)+(100b+10c+a)+ (100c+10a+b) = 111(a+b+c) = 37.3(a+b+c). (0,5 điểm) Vì 0 < a+b+c 27 nên a+b+c M 37. Mặt khác (3; 37) =1 nên 3(a+b+c) M37 => S không thể là số chính phương. (0,5 điểm) Câu 4. (4 điểm) (GT-KL ; Vẽ hình) (0,5điểm) 1a) Ta có AN, AC nằm trên 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB (gt)

NAB và CBA kề nhau. Có NAB = 900 (gt) => Tia AB nằm giữa AN và AC. CAB < 900 (gt) => NAB + CAB < 1800 => NAB + CAB = 900 + CAB = NAC (1) (0,5 điểm) Chứng minh tương tự có: 900 + CAB = NAC (2) (0,25 ®) * Từ (1) và (2) ta có NAC = BAM * Xét NAC và A có:

N

M P

K

H

Q

I

C B

A

+ AN = AB (gt) + NAC = BAM (cmt) => AC = A (c.g.c) (0,25 ®) + AC = AM (gt) => NC = BM (đpcm) 1b) Gọi giao điểm của NC với BM là I, giao điểm của Ac với BM là T. Ta có NAC = BAM (cmt) => CAN = AMB hay TCI = TMA (0,5 ®) Mà CTI = MTA (hai góc đối đỉnh) => MAT = CIT (Tổng 3 góc trong tam giác bằng 1800) (0,5 ®) Mà MAT = 900 (gt) => CIT = 900 hay NC BM (đpcm) 2) * Gọi giao điểm của AK với BC là H. kẻ MP vuông góc với AK tại P Kẻ NQ vuông góc với AK tại Q. Chứng minh được NQA = AHB (cạnh huyền- góc nhọn) …