Đề thi lần 1 đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2010-2011 - Phòng GD & ĐT Hà Hòa (Có đáp án)

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

Phòng gd & đt hạ hoà Đề lần 1 cho Đội tuyển 7

Năm học: 2010-2011 Thời gian làm bài: 120 phút

Ngày 28/10/2010

Bài 1: Chứng minh rằng:

M = 3n+2 - 2n+2 +3n – 2n có tận cùng là 0 với mọi số tự nhiên n  1.

Bài 2: Tìm x:

a) 15 3 1 2    x

b) 1 x-3,2 + 2x- 3 5 x  

Bài 3: Chứng minh rằng: nếu (ad + bc)2 = 4abcd thì các số a, b, c, d lập thành một tỉ

lệ thức.

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=  

2

10 2 20 2010 5 x y          

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại B. Vẽ tia AD là phân giác của ãBAC (D BC)  .

Vẽ tia CE là phân giác của ãBCA (E AB)  . Hai tia AD và CE cắt nhau tại I.

a) Chứng minh rằng: · 0 135 CIA 

b) Vẽ tia Cx là tia đối của tia CA. Tia phân giác của góc BCx cắt tia AD tại K.

Tính góc ãCKA ?

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

Hướng dẫn giảI đề lần 1-Hạ Hoà

Bài 1: Chứng minh rằng:

M = 3n+2 - 2n+2 +3n – 2n có tận cùng là 0 với mọi số tự nhiên n  1. Ta có:

      

 

n+2 n+2 n n n+2 n n+2 n n 2 n 2

n 1 M = 3 - 2 +3 -2 = 3 +3 - 2 +2 =3 3 +1 -2 2 +1

=3 .10 2 .5 10. 3 2 M 10 (n N*) n n n      

Vậy với n N*  Ta có M luôn có tận cùng là 0

Bài 2: Tìm x:

a)

2 1 12 2 13 6,5 2 1 3 15 2 1 12 2 1 12 2 11 5,5

x x x x x x x x

                      

b)

1 x-3,2 + 2x- 3 5 x   (1)

Ta có: 3,2 3,2 3,2 x x x      với mọi x dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3,2-x 0 ; 1 1 2x- 2 5 5 x   dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 0 5 x  

Suy ra: 1 1 x-3,2 + 2x- 3,2 2 3 5 5 x x x      

Do đó (1)

3,2 0 3,2 1 0,1 2 0 5

x x x x

             

vậy: 0,1 3,2 x  

Bài 3: Ta có: (ad + bc)2 = (ad+bc)(ad+bc)=(ad)2+2adbc+(bc)2 Nên từ giả thiết (ad + bc)2 = 4abcd (ad)2+2adbc+(bc)2=4abcd

(ad)2-2adbc+(bc)2=0 (ad)2-adbc-acbd+(bc)2=0ad(ad-bc)-bc(ad-bc)=0(ad-bc)2=0

ad-bc=0ad=bca c b d  ( Điều phải chứng minh)

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=  

2

10 2 20 2010 5 x y          

Ta có:  

2

10 2 0; 20 0 5 x y           với mọi x,y nên A2010.

Dấu “=” xảy ra khi x=2/5; y=-20 Vậy GTNN của A là Amin=2010 khi x=2/5; y=-20

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

x

K

D

I

A

B

C

E

Bài 5:

GT

ABC; B=900; AD là phân giác của ãBAC (D BC)  .

CE là phân giác của ãBCA (E AB)  . AD cắt CE tại I CK là phân giác của góc BCx

KL a) · 0 135 CIA 

b) ãCKA =?

Giải: a) Xét tam giác AIC Ta có :

· · · · · · · · 0 0 0 BAC ACB AIC+CIA+ACI=180 AIC=180 -(CIA+ACI)=180 -( + ) 2 2 

Mà tam giác ABC vuông tại B nên · · o BAC+ACB=90 · 0 135 CIA  b) Vì hai góc ACB và BCx là hai góc kề bù nên hai tai phân giác của chúng vuông góc với nhauãICK =900. Tam giác ICK có góc AIC là góc ngoài nên

· · · AIC=ICK+IKC · · · 0 0 0 CKA=AIC - ICK = 135 - 90 =45

Vậy ãCKA =450

ThuVienDeThi.com