Đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 7 - Năm học 2016-2017 (Có đáp án)

Toán 7 Kỳ thi chọn thi HSG - năm học 2016-2017 Thời gian : 12o phút .

Bài 1.(2 điểm) Từ điểm O tùy ý trong tam giác ABC, kẻ OM, ON , OP lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA, Ab. Chứng minh rằng: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2

Bài 2 :Ba phân số có tổng bằng , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5, các mẫu của

chúng tỉ lệ với 5; 1; 2. Tìm ba phân số đó.

Bài 3 : Chứng minh rằng: 10 100

1 .... 3 1 2 1 1 1      .

Bài 4 : : Tìm x biết:

a, 327

2  x + 326

3  x + 325

4  x + 324

5  x + 5

349  x =0

b, Chứng minh rằng mọi số nguyên dương n thì: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hết cho 10 c, Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2;3;4. Hỏi ba chiều cao tương ứng ba cạnh đó tỉ lệ với số nào?

Bài 5 : Tìm đa thức bậc hai sao cho :    1 . f x f x x    .

áp dụng tính tổng : S = 1 + 2 + 3 + … + n.

Bài 6 : Chứng minh rằng

2006 10 53 9

 là một số tự nhiên.

Bài 7 . Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức A= x

x 

 4 14 Có giá trị lớn nhất?

Tìm giá trị đó. Bài 8: Cho tam giác cân ABC, AB=AC. Trên cạnh BC lấy điểm D. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ë M và N. Chứng minh:

a. DM= EN b. Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN. c. Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên BC.

Bài 9 : a, Hãy so sánh A và B, biết: A=

2006 2007

2007 2008 10 1 10 1 ; B = 10 1 10 1    .

b, Thực hiện phép tính:

A= 1 1 1 1 . 1 ... 1 1 2 1 2 3 1 2 3 ... 2006                        

c, Tìm các số x, y nguyên biết rằng: x 1 1 8 y 4  

213

70

ThuVienDeThi.com

H-dẫn giải Bài 1: áp dụng định lÝ Pi ta go vào tam giác vuông NOA và NOC ta có: AN2 =OA2 – ON2; CN2 = OC2 – ON2  CN2 – AN2 = OC2 – OA2 (1) ( 0, 5 điểm) Tương tự ta cũng có: AP2 - BP2 = OA2 – OB2 (2); MB2 – CM2 = OB2 – OC2 (3) ( 0, 5 điểm) Từ (1); (2) và (3) ta có: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 ( 0, 5 điểm).

Bài 2 : Các phân số phải tìm là: a, b, c ta có : a + b + c = 213

70

và a : b : c = 3 4 5 : : 6: 40: 25 5 1 2  (1®) => 9 12 15 , , 35 7 14 a b c   

Bài 3: ; 10

1

1

1  10

1

2

1  ; 10

1

3

1  ; …..; 10

1

100

1  .

Vậy: 10 10

1 . 100 100

1 .... 3

1

2

1

1

1      

Bài 4 :a, 0 4 5

349 1 324

5 1 325

4 1 326

3 1 327

2                 x x x x x

...... 0 ) 5 1 324

1 325

1 326

1 327

1 )( 329 (       x

329 0 329       x x b, Ta có  2 3n ) 2 2 ( 3 3 2 3 2 2 2 2 n n n n n n n          (0,5®)

.................  10 2 3 10 10 . 2 10 . 3 5. 2 10 . 3 2 2         n n n n n n (0,5®) c, Gọi độ dài 3 cạnh là a , b, c, 3 chiều cao tương ứng là x, y, z, diện tích S

x

S a 2  y

S b 2  z

S c 2  z S y S x S c b a

4 2 3 2 2 2 4 3 2      

3 4 6 4 3 2 z y x z y x       vậy x, y, z tỉ lệ với 6 ; 4 ; 3

Bài 5:-Dạng tổng quát của đa thức bậc hai là : 

2 f x ax bx c    (a 0).

- Ta có :       2 1 1 1 f x a x b x c      .

-    1 2 f x f x ax a b x       2 1

0

a

b a

    

12 12

a

b

  

 

Vậy đa thức cần tìm là : 

2 1 1 2 2 f x x x c    (c là hằng số).

áp dụng : + Với x = 1 ta có :   1 1 0 . f f  

+ Với x = 2 ta có :   1 2 1 . f f  

…………………………………. + Với x = n ta có :    1 . n f n f n   

ThuVienDeThi.com