Đề thi chọn vào vòng I đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 7 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD & ĐT Yên Định (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN YÊN ĐỊNH

ĐỀ THI CHỌN VÀO VÒNG I ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2012 – 2013

MÔN TOÁN Thời gian 150 phút( không kể thời gian giao đề)

Đề này gồm 01 trang

Bài 1 (4 điểm) Cho biểu thức: 2 2a +1 a 7a +3 A = - - a -3 a +1 a - 2a -3 a. Rút gọn biểu thức A. b. Tìm a để A < 1. Bài 2 ( 6 điểm) a. Giải phương trình:     x-1 x x 1 x 2 24   

b. Tính giá trị của biểu thức : (x +5)(y +1) M = x(y -5) với x, y thỏa mãn 2 2 x +9y = 6xy - x -3

c. Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc biết rằng 2 abc n 1  và  

2 cba n - 2  với n là số tự nhiên. Bài 3 ( 4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, M là điểm thay đổi trên cạnh AC. Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O. a. Chứng minh OAH OCB   : . b. Chứng minh rằng tổng BM.BH + CM.CA không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên cạnh AC. Bài 4 ( 2 điểm) Cho hình thang vuông ABCD có µ µ 0 A = B = 90 . BC = n, AD = m. Gọi H là hình

chiếu của A trên cạnh BD, K là điểm nằm trên đoạn thẳng HD sao cho HK n = HD m . Tính góc AKC.

Bài 5 ( 4 điểm):

a. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3 4a -3a +1 b. Cho x, y, z > -1 và x3 + y3 + z3 = 0. Chứng minh rằng x + y + z < 1

………………………………. Hết……………………………..

Họ và tên thí sinh: …………………………………………… SBD: …………………………

Giám thị 1: ……………………………… Giám thị 2: …………………………………

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm).

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỐ BÁO DANH

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN YÊN ĐỊNH

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 Bài Nội dung Điểm

a

1.5đ

+ ĐKXĐ: 1 1; 2 x x  

2

2

2

2

1 2(1 ) (5 ) 1 . 1 1 2

2 1 . 1 1 2 2 1 2

x x x x A x x

x x x

x

                 



0.25

0.5

0.5

0.25

b 1.5đ

A nguyên, mà x nguyên nên 2 1 2x   Từ đó tìm được x = 1 và x = 0 Bỏ đi giá trị x = 1( do điều kiện). Vậy x = 0

0.5 0.5 0.5

Bài 1

4.0đ

c

1.0đ

Ta có:

0

2 1 0 1 2 0 1 2 2

A A A

x x x

  

      

Kết hợp với điều kiện: 1 1 2 x  

0.25

0.5

0.25

a

2.0đ

Phân tích được (x – 1)( x3 + x2 + 2x + 8) = 0 (x – 1)( x + 2)( x2 – x + 4) = 0 (1)

Vì x 2 – x + 4 = (x - 1

2 )2 + 15

4 > 0

Nên (1) (x – 1)( x + 2) = 0

x = 1 hoặc x = -2

0.5 0.5 0.25

0.5 0.25

b

2.0đ

Ta có: x2 + 2x – 10 = y2 ( x + 1)2 – y2 = 11

(x + 1 + y)(x + 1- y ) = 11 (2) Vì x, y N nên x + 1 + y > 0 và do đó x + 1 – y > 0 Nhận xét : x + 1 + y > x + 1 – y với mọi x, y N (2) viết thành: (x + 1 + y)(x + 1- y ) = 11.1

 1 11 1 1 x y x y      

Kết luận : x = 5, y = 5 là nghiệm

0.5 0.5

0.5

0.5 Bài 2

6.0đ

c

2.0đ

Biến đổi giả thiết về dạng :

 

2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 0 2 a b c a b b c c a            

 0 a b c a b c       

. Với a + b + c = 0. Tính được c a b P b c a               = -1

. Với a = b = c . Tính được P = 2.2.2 = 8

0.5

0.5

0.5 0.5

ThuVienDeThi.com

H

B

D

C

A

a

2.0đ

Gọi số có ba chữ số cần tìm là abc Ta có: abc = (98a + 7b) +2a + 3b + c Vì abc 7 nên 2a + 3b + c 7 (3) Mặt khác, vì a + b + c  7 (4), kết hợp với (3) suy ra: 7 b c  Do đó b – c chỉ có thể nhận các giá trị: -7; 0 ; 7 + Với b – c = -7, suy ra c = b + 7. kết hợp với (4) ta chọn được các số 707; 518; 329 thỏa mãn. + Với b – c = 7 suy ra b = c + 7. Đổi vai trò b và c của trường hợp trên ta được các cặp số 770, 581, 392 thỏa mãn bài toán. + Với b – c = 0 thì b = c mà do (4) nên a + 2b7. Do 1 2 27 a b    nên a + 2b chỉ có thể nhận các giá trị 7; 14; 21. Từ đó chọn được 12 số thỏa mãn là 133, 322,511,700, 266, 455, 644, 833, 399, 588, 777, 966.

Vậy có 18 số thỏa mãn bài toán: 707, 518, 329, 770, 581, 392 , 133, 322,511,700, 266, 455, 644, 833, 399, 588, 777, 966.

0.25

0.5 0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

Bài 3

4.0đ

b

2.0đ

Vì x + y +z = 1 nên:

  1 1 1 1 1 1 16 4 16 4

21 16 4 16 16 4

M x y z x y z x y z

x y x z y z y x z x z y

                                      

Ta có:

    2 2 2 2 4 2 2.4 .2 4 2 16 4 1 1 . ( , 0) 4 16 16 .4 64 64 4 4 x y x y x y x y x y x y y x x y xy …