Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Khối 7 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD & ĐT Yên Định (Có đáp án)

Phòng giáo dục và đào tạo yên định

kỳ thi học sinh giỏi cấp trường

năm học 2014 - 2015 Môn: toán – khối 7 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

đề BàI

Bài 1 (4 điểm):

a) Tính giá trị của biểu thức:

 

12 5 6 2

6 2 4 5 2 .3 4 .9

2 .3 8 .3 A  



b) Cho B = 22015 - 22014 – 22013-....- 2 – 1 . Tính 2015B. Bài 2 (4 điểm):

a) Cho 2

3 4 3

4 2 4

2 3 z y x z y x      . Chứng minh rằng : 4 3 2

z y x  

b) Cho đa thức f(x) =ax2 + bx + c với a, b, c là hệ số nguyên. Biết f(x) 5 với mọi số nguyên x. Chứng tỏ rằng a, b, c cũng chia hết cho 5. Bài 3 (4 điểm): a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x x    2015 2014 khi x thay đổi.

b) Tìm số tự nhiên n để phân số 3 2

8 7

  n n có giá trị lớn nhất.

Bài 4 ( 6 điểm ):

Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng

vuông góc với tia phân giác của góc BAC tại N và cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F.

Chứng minh rằng:

a) AE = AF

b) BE = CF

c) 2

AC AB AE  

Bài 5: ( 2 điểm )Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho: 5 1 y 1 x 1  

Hết.

Họ và tên thí sinh::........................................... SBD........................................

Giám thị 1:.................................................... Giám thị 2:..............................

đề thi chính thức

ThuVienDeThi.com

Hướng dẫn chấm môn toán khối 7

Câu Đáp án Biểu điểm

1

a)

 

12 5 6 2

6 2 4 5 2 .3 4 .9

2 .3 8 .3 A  



12 5 12 4

12 6 12 5 2 .3 2 .3 2 .3 2 .3   

   

12 4

12 5 2 .3 . 3 1 2 .3 . 3 1

  

1 6 

b)Ta có : 2B =

2016 2015 2014 2 2 2 2 ... 2 2      2B – B =

2016 2015 2015 2014 2014 2 2 2 2 2 2 2 .... 2 2 2 2 1            B =

2016 2015 2016 2016 2 2.2 1 2 2 1 1      2015B = 2015. Vậy 2015B = 2015

2,0

2,0

2

a) 2

3 4 3

4 2 4

2 3 z y x z y x     

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

z y x z y

y x

z y

y x

z y x z y x z y x z y x

6 8 12 6 8

8 12

0 6 8

0 8 12

0 4 9 16

6 8 12 6 8 12 4

6 8 9

12 6 16

8 12

     



    

 

  

  

           

 4 3 2 24 6 24 8 24 12 z y x z y x      (đpcm)

b) f(x) =ax2 + bx + c với a, b, c là hệ số nguyên Vì f(x)  5 với mọi số nguyên x nên ta có f(0)  5 => c  5 Lại có : f(1)  5 => a + b + c  5 mà c  5 nên a + b  5 (1) f(- 1)  5 => a – b + c  5 mà c  5 nên a – b  5 (2) Từ (1) và (2) suy ra a  5 và b  5. Vậy a, b, c chia hết cho 5

1,0

1,0

0,5 0,5 0,5

0,5

3

a) + Nếu x < 2014 thì: A = - x + 2014 + 2015 – x = - 2x + 4029

Khi đó: - x > -2014 => - 2x + 4029 > – 4028+ 4029 = 1 => A > 1

+ Nếu 2014  x  2015 thì: A = x – 2014 + 2015 – x = 1

+ Nếu x > 2015 thì A = x - 2014 - 2015 + x = 2x – 4029

Do x > 2015 => 2x – 4029 > 4030 – 4029 = 1 => A > 1.

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2014  x  2015

b)    

      3 2 2

5 2 7 3 2 2

5 3 2 7 3 2 2

8 7 2

   

      n n n n n A

Đặt B=   3 2 2

5

 n thì A lớn nhất khi và chỉ khi B lớn nhất .

B lớn nhất khi 2n – 3 là số tự nhiên nhỏ nhất 2n – 3 = 1 n = 2. Vậy GTLN của A bằng 6 khi và chỉ khi n = 2.

1,0

1,0

0,75

0,75

0,75

0,5

ThuVienDeThi.com