Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7

1

Trường THCS Liên Châu

Câu1(3điểm).Choa,b,clà ba số thực dương, thoả mãn điều kiện:

b

b a c a

a c b c

c b a         . Hãy

tính giá trị của biểu thức                    b c c a a b B 1 1 1 .

Câu 2. (5điểm)

1) Cho: d

c c b b a   . Chứng minh: d a d c b

c b a       

 

 

3

.

2)Cho 6

5 4

3 2

1      c b a và 5a - 3b - 4 c = 46 . xác định a,b,c

3) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua.

Câu 3. (2 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 2 2 2013 x x    với x là số nguyên

Câu 4. (7 điểm)

Cho

 xAy =600 có tia phân giác Az . Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M . Chứng minh :

a ) K là trung điểm của AC.

b ) KMC là tam giác đều

c)Cho BK = 2cm. Tính các cạnh AKM.

Câu 5. (3 điểm)

Cho biết(x-1).f(x)=(x+4) .f(x+8) với mọi x .Chứng minh rằng f(x) có ít nhất 2 nghiệm

Trường THCS Liên Châu

Câu Nội dung Điểm

Vì a,b,c là các số dương nên a+b+c 0,ta có:

b

b a c a

a c b c

c b a         = a b c b c a c a b

a b c 

 = 1

mà 1 1 1 a b c b c a c a b c a b       = 2=> a b b c c a c a b      =2

Vậy B = 1 1 1 ( )( )( ) b a c b a c a b c a c b a c b                   

=8

1)Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau: a b c a b c b c d b c d      

Do đó:

3

. . a b c a b c a b c a b c b c d b c d b c d b c d                  

. . a b c a b c d d  

1

1

Câu2(5 đ)

2) 6

5 4

3 2

1      c b a = 2 24 12 10

20 9 5 4 3 5 24

) 5 ( 4 12

) 3 ( 3 10

)1 ( 5    

      

   

    c b a c b a

=> a = -3 ; b = -11; c = -7.

0,5

0,5

ThuVienDeThi.com

2

3)Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0) số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, b,c

Ta có: 5 6 7 ; ; 5 6 7 18 18 18 18 3 18 a b c a b c x x x x x a b c            (1)

Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có:

, , , , , ,

, , , 4 5 6 ; ; 4 5 6 15 15 15 15 3 15 a b c a b c x x x x x a b c            (2)

So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều hơn lúc đầu

Vây: c’ – c = 4 hay 6 7 4 4 360 15 18 90 x x x x      

Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói.

0,25

0,5

0,5

0,75

0,75

0,25

a) Ta có: 2 2 2 2013 2 2 2013 2 A x x x x        

2 2 2013 2 2011 x x     

Dấu “=” xảy ra khi 2013 (2 2)(2013 2 ) 0 1 2 x x x     

1

0,75

0,25

Câu 3

(2điểm)

Câu 4

(7điểm)

V ẽ hình , GT - KL

a, ABC cân tại B do ) (

  

  MAC ACB CAB và BK là đường cao  BK là đường trung tuyến  K là trung điểm của AC b, ABH = BAK ( cạnh huyền + góc nhọn )

 BH = AK ( hai cạnh t. ư ) mà AK = 1

2 AC BH = 1

2 AC

Ta có : BH = CM ( BHM = MCB ) mà CK = BH = 1

2 AC  CM = CK  MKC là

tam giác cân ( 1 )

Mặt khác :

 MCB = 900 và

 ACB = 300



 MCK = 600 (2) Từ (1) và (2)  MKC là tam giác đều c) Vì ABK vuông tại K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm Vì ABK vuông tại K nên theo Pitago ta có:

AK = 2 2 16 4 12 AB BK    

0,5

1,5

0,5 0,5

0,5

0,5

0,5

0,5 0,25

ThuVienDeThi.com