Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học lớp 7 - Nguyễn Văn Bình

Nguyễn Văn Bình -THCS Phổ Châu- Đức Phổ - Quảng Ngãi 1 Toán BDHS Giỏi Hình học 7 Bài toán 1: Cho tam giác ABC có và . Gọi Ax là tia đối của tia AB, đường phân giác của góc cắt phân giác tại D. Đường thẳng BA cắt đường thẳng CD tại E. So sánh độ dài AC và CE.

Giải: Gọi Cy là tia đối của tia CB. Dựng DH, DI, DK lần lượt vuông góc với BC. AC, AB. Từ giả thiết ta suy ra DI = DK; DK = DH nên suy ra DI = DH ( CI nằm trên tia CA vì nếu điểm I thuộc tia đối của CA thì DI > DH). Vậy CD là tia phân giác của và là góc ngoài của tam giâc ABC suy ra

.

Mặt khác . Do đó, nên cân tại C. Vậy CA = CE

Bài toán 2: Cho tam giác ABC có BC = 10 cm. Các đường trung tuyến BD và CE có độ dài

theo thứ tự bằng 9 cm và 12cm. Chứng minh rằng:

Giải: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó ta có:

. Tam giác BGC có hay

. Suy ra vuông tại G hay

Bài toán 3: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = DB. Gọi M, N theo thứ tự trung điểm của BC và CE. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của AM, AN với BE. Chứng minh rằng BI = IK = KE

Giải: Do AM và BD là hai trung tuyến của tam giác ABC cắt nhau tại I nên I là trọng tâm của tam giác ABC, ta có:

Ta có K là trọng tâm tam giác ACE nên (2)

Mà BD = DE từ (1) và (2) suy ra BI = EK (3) . Mặt khác, ta lại có: và

suy ra ID = KD ( do BD = ED ) nên (4). Từ (3) và (4) suy ra BI = IK = KE.

Bài toán 4: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD = 12cm.Trung tuyến BE = 9cm và trung tuyến CF = 15cm. Tính độ dài BC (hính xác đến 0,1 cm)

Giải:

· 0 30 ABC  · 0 130 BAC  ãABC ãCAx

¶ ICy ¶ ICy · · µ µ 0 0

0 30 130 80 2 2 A B ACD DCy       · 0 0 0 180 130 50 CAE    · 0 50 CEA  CAE 

BD CE 

  2 2.12 8 3 3 GC CE cm   

  2 2.9 6 3 3 GB BD cm    2 2 2 10 6 8  

2 2 2 BC BG CG   BGC  BD CE 

2 (1) 3 BI BD 

2 3 EK ED 

1 3 ID BD  1 3 KD ED 

2 3 IK BD 

ThuVienDeThi.com

Nguyễn Văn Bình -THCS Phổ Châu- Đức Phổ - Quảng Ngãi 2 Trên tia đối của tia DG lấy điểm M sao cho DM = DG khi đó

AG = GM = ; ;

nên suy ra (so le trong) nên

BM//CG và MB = CG mà . Mặt

khác, ta có hay . Suy ra vuông tại G. Theo định lý Pythagore ta có . Vậy BC = 2BD =

Bài toán 5: Chứng minh rằng tổng độ dài ba đường trung tuyến của một tam giác lớn hơn

chu vi và nhỏ hơn chu vi của tam giác ấy.

Giải:

Ta có ; ; nên suy ra hay (1)

Trong tam giác BGC có: BG + GC > BC mà

nên .

Tương tự ta có ; . Cộng các bất đẳng thức vế theo vế ta có:

(2).

Kết hợp (1) và (2) suy ra (đpcm)

Bài toán 6: Cho tam giác ABC, gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AB và BC. Vẽ các điểm M, N sao cho C là trung điểm của ME và B là trung điểm của ND. Gọi K là giao điểm của AC và DM. Chứng minh N, E, K thẳng hàng.

Giải: Tam giác MND có BE = EC = CM nên

mà MB là trung tuyến nên E là

trọng tâm suy ra NE là trung tuyến của tam giác NMD. Mặt khác, DE //AC do DE là đường trung bình của tam giác ABC hay DE // KC mà C là trung điểm của ME nên K là trung điểm của DM. Nên ba điểm N, E, K thẳng hàng.

2 2.12 8( ) 3 3 AD cm   2 2.9 6( ) 3 3 BG BE cm   

( . . ) BDM CDG c g c   · · GCD DBM  2 2.15 10( ) 3 3 CG CF cm   

2 2 2 10 6 8   2 2 2 BM BG MG   BGD 

2 2 2 2 6 4 52 BD BG GD     

2 52 14,4( ) cm 

3 4

2AD AB AC   2BE AB BC   2CF BC AC       2 2 AD BE CF AB BC CA     

    AD BE CF AB BC CA     

2 3 BG BE 

2 3 CG CF  2 2 3 3 3 2 BE CF BC BE CF BC     

3 2 CF AD AC   3 2 BE AD AB  

      3 3 2 2 4 AD BE CF AB BC CA D BE CF AB BC AC           

  3 4 AB BC AC AD BE CF AB BC AC        

2 3 ME MB 

ThuVienDeThi.com