Đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh năm học 2016 - 2017 môn Toán

SỞ GD-ĐT HẬU GIANG KỲ THI CHỌN HSG THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút

Bài 1: a) Tính giá trị của 5 7 2017 x x   . Biết 6 2 5 6 2 5 20 x    

b) Giải hệ phương trình

2

2

3 7

1 5x 7x

y x

y

      

Bài 2: a) Tìm các số thực x biết 3 2 2 3 1 6x 9x 3 1 3x 3x x       b) Cho đa thức 7 ( ) 1 f x x   và 3 ( ) 1 g x x x   . Tìm phần thương và phần dư khi chia f(x) cho g(x) Bài 3: a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 60+2n-n2 là số chính phương b) Cho hai số thực a, b thỏa mãn a+b-ab=-1 và a2 +b2 =13 . Tính 3 3 P a b   c) Cho đa thức 2 4 2 ( 1) 3 3 f x x x    thỏa mãn , đúng với mọi x. Tìm 2 ( 1) f x  d) Tìm GTNN của 2 2 A x y x y xy     với x, y là các số thực Bài 4: a) Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm. Các đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc B lần lượt cắt đường thẳng AC tại M và N. Tính diện tích của tam giác BMN

b) Tính diện tích của lục giác đều có cạnh 2 2

3 a  cm

Bài 5: a) Cho tam giác ABC vuông tại A và có diện tích bằng 2017 dm2. Trên các cạnh của tam giác vuông ta dựng các nửa đường tròn đường kính AB, BC và CA. Tính tổng diện tích phần tô đen b) Cho O là một điểm nằm ở miền trong của tam giác ABC. Qua O kẻ các đường thẳng song song với các cạnh AB, BC, CA lần lượt cắt các cạnh của tam giác như hình vẽ. Gọi a, b, c lần lượt là diện tích của các tam giác HIO, GFO, DEO và s là diện tích tam giác ABC.Chứng minh rằng 2 ( ) S a b c   

Sở Giáo Dục và Đào Tạo Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 cấp THCS

ThuVienDeThi.com

tỉnh Nghệ an Năm học 2016- 2017 Câu 1: (4,0 điểm) a. Tìm các hệ số a ,b,c của đa thức 2 ( ) x P x x b c    biết P(x) có giá trị nhỏ nhất bằng −1 khi x=2.

b. Giải hệ phương trình:

2 2 3

2

7

2( 1) 3 ( 1) 0

x xy xy y

x x y y

           

Câu 2: (4,0 điểm)

a. Giải phương trình 2 2 3 1 1 x x x      b. Cho các số dương a,b,ca,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2 2

1 1 1

a b c P

a b c      

Câu 3: (3,0 điểm). Cho tam giác ABC có góc BAC 0 135  , BC=5cmBC=5cm và đường cao AH=1cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC. Câu 4: (5,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, D là điểm trên cung DC không chứa A. Dựng hình bình hành ADCE. Gọi H,K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC, ACE;P,Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của K trên đường thẳng BC,AB và I là giao điểm của EK với AC. a. Chứng minh rằng 3 điểm P,I,Q thẳng hàng. b. Chứng minh rằng đường thẳng PQ đi qua trung điểm HK. Câu 5: (4,0 điểm). a. Tìm tất cả các số nguyên tố khác nhau m,n,p,q thoả mãn

1 1 1 1 1 1 m n p q mnpq     

b. Trên một hàng có ghi 2 số 1 và 5. Ta ghi các số tiếp theo lên bẳng theo nguyên tắc. Nếu có 2 số x,y phân biệt trên bảng thì ghi thêm số z=xy+x+y. Chứng minh rằng các số được ghi trên bảng (trừ số 1 ra) có dạng 3k+2 (với k là số tự nhiên). SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ LỚP 9 QUẢNG TRỊ Khoá thi ngày 15 tháng 3 năm 2017 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN

ThuVienDeThi.com