Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013 - 2014 môn Toán 7

Trường thcs nga thiên Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013 - 2014

Môn: Toán 7 (Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 (4 điểm)

a) Tìm số tự nhiên n biết rằng: n n 2 3 3 270   

b) Cho biểu thức: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10         

Chứng tỏ rằng A < 1.

Bài 2 (4 điểm)

a) Tìm x biết: x 6 2x 10   

b) Tìm các số x, y thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: 4x = 5y và x2 – y2 = 1

Bài 3 (4 điểm)

a) Chứng minh rằng ba đơn thức không thể cùng có giá trị âm. 3 4 4 3 1 x y ; x y ; 2xy 2  

b) Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B, đi ngược chiều nhau. Sau

khi gặp nhau lần thứ nhất, ô tô xuất phát từ A tiếp tục đi đến B và trở lại A ngay, ô tô xuất phát

từ B tiếp tục đi đến A và trở lại B ngay. Hai ô tô gặp nhau lần thứ hai ở C thì quãng đường AC

dài hơn quãng đường BC là 50km. Tính quãng đường AB biết vận tốc xe đi từ A và vận tốc xe

đi từ B tỉ lệ thuận với 4 và 5.

Bài 4 (6 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của cắt AC tại D, tia phân giác của AABC

cắt AB tại E. Kẻ DH vuông góc với BC tại H, EK vuông góc với BC tại K. AACB

a) Chứng minh rằng BA = BH và BD AH 

b) AB + AC = BC + HK

c) Tính số đo góc HAK

Bài 5 (2 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng AC, trên đoạn BD lấy

điểm E sao cho . Chứng minh A A DAE ABD  A A  EBC ECA

–––––––––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––––––––––

ThuVienDeThi.com

Phòng giáo dục - đào tạo

Tiền hải

kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013 - 2014

đáp án và biểu điểm chấm môn : Toán 7 (Đáp án và biểu điểm chấm gồm 04 trang)

Bài 1 (4 điểm)

a) Tìm số tự nhiên n biết rằng: n n 2 3 3 270   

b) Cho biểu thức: . Chứng tỏ rằng A < 1. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10         

Câu Nội dung Điểm Ta có:   n n 2 n 2 3 3 270 3 1 3 270       0.5

n3 .10 270   0.5

n3 27   0.25

n 3 3 3   0.25 n 3   0.25

a)

Vậy n = 3 0.25 Ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10

        

         

0.5

1 1 1 1 1 1 1 1 A ... 1 2 2 3 3 4 9 10           0.5

1 A 1 10   0.5

9 A 1 10    0.25

b)

Vậy A < 1 0.25 Bài 2 (4 điểm)

a) Tìm x biết: x 6 2x 10   

b) Tìm các số x, y thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện sau: 4x = 5y và x2 – y2 = 1

Câu Nội dung Điểm *) Nếu x 6 thì |x – 6| = x – 6 nên từ  x 6 2x 10 x 6 2x 10        0.5

< 6 (loại) 16 3x 16 x 3     0.25

*) Nếu x < 6 thì |x – 6| = 6 – x nên từ x 6 2x 10 6 x 2x 10        0.5 (thỏa mãn điều kiện x < 6) 6 x 10 x 4      0.25

a)

Vậy x = 4 0.25

b) Từ 4x = 5y Þ

2 2 2 2 x y x y x y 5 4 5 4 25 16                 

0.5

ThuVienDeThi.com

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 2 2 2 x y x y 1 25 16 25 16 9      0.5

hoặc x = Þ

2

2 x 1 25 5 x x 25 9 9 3      5 3  0.5

*) Với x = 5 5 4 4. 5y y 3 3 3     0.25

*) Với 5 5 4 x 4. 5y y 3 3 3        0.25

Vậy các cặp số (x, y) cần tìm là: 5 4 5 4 ; ; ; 3 3 3 3           

0.25

Bài 3 (4 điểm)

a) Chứng minh rằng ba đơn thức không thể cùng có giá trị âm. 3 4 4 3 1 x y ; x y ;2xy 2  

b) Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B, đi ngược chiều nhau. Sau

khi gặp nhau lần thứ nhất, ô tô xuất phát từ A tiếp tục đi đến B và trở lại A ngay, ô tô xuất phát

từ B tiếp tục đi đến A và trở lại B ngay. Hai ô tô gặp nhau lần thứ hai ở C thì quãng đường AC

dài hơn quãng đường BC là 50km. Tính quãng đường AB biết vận tốc xe đi từ A và vận tốc xe

đi từ B tỉ lệ thuận với 4 và 5.

Câu Nội dung Điểm Giả sử cả 3 đơn thức cùng có giá trị âm

tích của 3 đơn thức có giá trị âm (1) Þ 0,5

Mặt khác:       3 4 4 3 3 4 4 3 8 8 1 1 x y x y 2xy . 1 .2. x .x .x y .y .y x y 2 2                 

0,5

Vì x8y8 0 nên 0 (2)  x; y     3 4 4 3 1 x y x y . 2xy 2        

 x; y  0,5 a)

Ta thấy (1) mâu thuẫn với (2) điều giả sử …