Bồi dưỡng HSG Toán 7+ đến 9 Phương pháp làm trội

Lớp Toán thầy Tâm Nha Trang 2016

1 57 Núi Một Nha Trang

[Bồi dưỡng HSG Toán 7+ đến 9] Phương pháp làm trội

Bài 1. Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh rằng . 1 a b c d b c d c d a d a b a b c            

Bài 2. Cho các số dương a, b. Chứng minh rằng .1 2 2 a b a b b a    

Bài 3. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng . 2 a b c a b b c c a      

Bài 4. Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc c a abc abc         

Bài 5. Chứng minh bất đẳng thức . 2 2 2 2 2 167 1 1 1 1 1 2008 ... 335 2 3 4 2008 2009 2009       

Từ đó tổng quát hóa bài toán lên.

Bài 6. Chứng minh rằng . 2 2 1 1 1 1 ... 5 13 2002 2003 2      Từ đó tổng quát hóa bài toán lên.

Bài 7. Chứng minh rằng . 1 1 1 1 1 87 ... 88 2 3 4 2024 2025       

Bài 8. Chứng minh rằng với mộ số dương n > 2 ta có .  

1 1 1 1 ... 2 2 3 2 4 3 1 n n      

Bài 9. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng . 1 2008 2008 2008 2009 2009 2009

a b c c a b b c a      

Bài 10. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng

. 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 a b b c c a         

Bài 11. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng .

3 3 3 3 3 3

2 2 2 a b b c c a a b c ab bc ca        

Bài 12. Cho n là số nguyên dương lớn 2. Chứng minh rằng

.  

2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 2 2 3 4 1

n n n n n n

          

Bài 13. Cho n là số nguyên dương lớn hơn 2. Chứng minh rằng .  

2 1 1 1 1 ... 9 25 4 2 1 n     

Bài 14. Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì

.   2 2 2 2 a b c ab bc ca     

ThuVienDeThi.com

Lớp Toán thầy Tâm Nha Trang 2016

2 57 Núi Một Nha Trang

Bài 15. Cho n là số nguyên dương lớn hơn 2. Chứng minh rằng

.     1 1 1 1 2 ... 2 1 2 3 n n n       

Hướng dẫn

Bài 1. ;...; a a d d V V dpcm b c d a b c d a b c a b c d               

Bài 2. . ; 2 2 a a b b V V dpcm a b a b b a a b         

Bài 3. C1: Dựa vào x, y, z > 0, ta có: . Áp dụng ta được: x x z y y z   

. ;...; a a c c c b V V dpcm a b a b c c a a b c             

C2: và giả sử a < b < c, cần chứng minh . . 1 c c a   1 a b a b a b b c a b a b         V V dpcm  

Bài 4. .    

3 3

3 3 1 c a b ab a b a b abc abc a b c         

Bài 5. . 2 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n      

Bài 6. Ta có: . Chú ý không dùng đến .  

2 2 2

1 1 1 1 1 1 . 2 2 1 1 n n n n n

           

1 5

ThuVienDeThi.com