Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Việt Yên năm học 2010 - 2011 môn Toán 7

Phòng Giáo dục & Đào tạo

Việt Yên

§Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn

Năm học 2010 - 2011

Môn : Toán 7 Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: ( 4 điểm)

a)TÝnh A = ( - 1 ) . ( - 1 ) . ( - 1 ) . ……( -1 ) . ( - 1 ) 1 4

1 9

1 16

1 100

1 121 b) S =

2010 2009 2008 2 2 2 ... 2 1     

Bài 2 : ( 4 điểm)

a) Tìm x , y nguyên biết xy + 3x – y = 6

b) Cho A = + + ……+ 1 1.2

1 3.4

1 37.38

B = + +……….+ 1 20.38

1 21.37

1 38.20

CMR là một số nguyên. A B Bài 3 ( 4 điểm ): a) Cho S= 17 + 172+173+……..+1718 chứng tỏ rằng S chia hết cho 307 b) Cho đa thức = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 ) (x f

Biết rằng : ) 2 ( ) 2 ( ); 1 ( )1(     f f f f

Chứng minh : với mọi x. ) ( ) ( x f x f  

Bài 4 (6 điểm) Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M là trung điểm của BC . Đường thẳng đi qua M vuông góc với tia phân giác của góc A tại H cắt cạnh AB , AC lần lượt tại E và F . Chứng minh :

a) 2BME = ACB - B

b) .

2

2 2 4 FE AH AE  

c) BE = CF . Bài 5 ( 2 điểm)

Cho 4 số không âm a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 1. Gọi S là tổng các giá trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số có được từ 4 số này. S có thể đạt được giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

ThuVienDeThi.com

Phòng Giáo dục & Đào tạo

Việt Yên

Hướng dẫn chấm học sinh giỏi cấp huyện

Năm học 2010 - 2011

Môn : Toán 7 Bài 1

a)

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 8 15 99 120 1.3 2.4 3.5 9.11 10.12 . . .............. . . . ................ . 4 9 16 100 121 2 3 4 10 11 1.2.3.4......10.3.4.5.6......11.12 1.2.11.12 12 2 .3 .........11 2 .11 22

     

  

1

1

b) S =

2010 2009 2008 2 2 2 ... 2 1     

2S = 2 2 ... 2 2 2 2 2009 2010 2011     0.5®

2S - S =

1 2 2 2 2 .. 2 2 . 2 2 2 2 2 2009 2009 2010 2010 2011         

0.5®

S = 1 2.2 2 2010 2011   1 1 2 2 2011 2011     1 ®

Bài 2 a)xy + 3x – y = 6 => (x – 1). (y+3) = 3 => x – 1 và y+3 là ¦( 3)

Tìm ra các cặp (x, y ) thoả mãn (4; -2), (2;0), (-2;-4),(0;6)

b)A = = 1 1 1 .......... 1.2 3.4 37.38    1 1 1 1 1 1 .......... 1 2 3 4 37 38      

= ( 1 + + ) – 1 3

1 1 .......... 5 37   1 1 1 ......... 2 4 38         

= 1 1 1 1 1 1 1 1 .......... 2 ........ 1 2 3 4 38 2 4 38                     

= 1 1 1 ......... 20 21 38   

B = => 1 1 1 ......... 20.38 21.37 38.20   

58B=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ........... 2 ........... 20 38 21 37 38 20 20 21 38 2A

                

B = 2 58 29 58 2 A A Z B    

1 1

1

1

Bài 3 : Mỗi ý đúng cho 1 điểm

a) S = 17( 1+17+172) + 174( 1+17+172) + .......+1716( 1+17+172)

= 17. 307 + 174.307 +.............+ 1716.307

0,5

= 307( 17+ 174+…………….+ 1716) 0, 5

ThuVienDeThi.com

Vì 307 307 nên 307( 17+ 174+…………….+ 1716) 307  

Vaäy S 307 

b) 0 1 2 3 4 )1( a a a a a f      0 1 2 3 4 )1 ( a a a a a f       Do nên a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = a4 - a3 + a2 - a1 + a0 )1 ( )1(  f f a3 + a1 = - a3 - a1 

a3 + a1 = 0 (1) 

0.25®

Tương tự: 0 1 2 3 4 2 4 8 16 ) 2 ( a a a a a f     

0 1 2 3 4 2 4 8 16 ) 2 ( a a a a a f      

Vì nên 4a3 + a1 = 0 (2) ) 2 ( ) 2 (  f f

0.25®

Từ (1) và (2) a1 = a3 = 0  0.25®

VËy 0 2 2 4 4 ) ( a x a x a x f   

víi 0 2 2 4 4 0 2 2 4 4 ) ( ) ( ) ( a x a x a a x a x a x f         x 

víi ) ( ) ( x f x f   x 

0.25®

Bài 4

a) (cgc) Suy ra AEH AFH   A A 1 E F  Xét có là góc ngoài suy ra CMF  AACB A A A CMF ACB F   có là góc ngoài suy ra BME  A

1 E A A A 1 BME E B  

0.5®

Vậy A A A A A A 1 ( ) ( ) CMF BME ACB F E B      hay (đpcm). A A A 2BME ACB B  

0.25®

b) áp dụng định lÝ Pytago vào tam giác vuông AFH : 0.75®

1

C H

M

E

D

B

A

F

ThuVienDeThi.com