Đề thi chọn đội tuyển HSG Toán 7

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG TOÁN 7

Năm học 2016 - 2017 Bài 1: (2đ) Thực hiện phép tính:

a) A = 1 1 1 1 1 3 5 7 ... 49 ( ... ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89       

b) TÝnh

1 1 1 1 ... 2 3 4 2012 2011 2010 2009 1 ... 1 2 3 2011

P

    

   

Bài 2(2đ) : a) Chứng minh rằng:

Nếu Thì c b a

z c b a

y c b a

x

        4 4 2 2 z y x

c z y x

b z y x

a

        4 4 2 2 b) Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện :

( n là số tự nhiên) y z t nx z t x ny t x y nz x y z nt x y z t             

và x + y + z + t = 2012 . Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t Bài 3: (2đ) Tìm x biết

a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013

b) 1 2 3 4 2011 2010 2009 2008 x x x x       

Bài 4 : (3đ) Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn : a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256 c) Tìm x, y biết : 2012 2011 ( 1) 0 x y y    

Bài 5 (2đ) a) Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho: 1 1 1 x y 5  

b) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn : và b a a 5 5 3 2 3    c a 5 3   Bài 6: (2đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau: a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 Bài 7 (3đ) Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đường cao AH. Vẽ các điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với AB và AC.

a) Chứng minh : Tam giác ADE cân tại A b) Tính số đo các góc AIC và AKB ?

Bài 8 : (2đ) a) Cho m, n N* và p là số nguyên tố thoả mãn: = (1)  1  m

p

p

n m 

Chứng minh rằng : p2 = n + 2 b) Cho x = 2011. Tính giá trị của biểu thức:

2011 2010 2009 2008 2 2012 2012 2012 .... 2012 2012 1 x x x x x x       

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN chấm HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = ….

2012 2010 1 1 1 .... 1 2011 1 2 2011 MS      

= 2012 2012 2012 .... 2011 2 2011      1 1 1 1 2012( ...... ) 2 3 4 2012    

HD : a) Từ c b a

z c b a

y c b a

x

        4 4 2 2  2 2 4 4 a b c a b c a b c x y z        

(1)  2 2(2 ) 4 4 2 2 a b c a b c a b c a x y z x y z           

(2) 2( 2 ) (2 ) 4 4 2 2 a b c a b c a b c b x y z x y z           

(3) 4( 2 ) 4(2 ) 4 4 4 4 4 4 a b c a b c a b c c x y z x y z           

Từ (1) ;(2) và (3) suy ra : z y x

c z y x

b z y x

a

        4 4 2 2 HD : a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013

x( 1 + 2 + 3 + ….+ 2011) = 2012.2013 

2011.2012 . 2012.2013 2 x   2.2013

2011 x  

b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4

Từ 1 2 3 4 2011 2010 2009 2008 x x x x       

( 2012) 2011 ( 2012) 2010 ( 2012) 2009 ( 2012) 2008 2011 2010 2009 2008 x x x x            

2012 2012 2012 2012 2 2011 2010 2009 2008 1 1 1 1 ( 2012)( ) 2 2011 2010 2009 2008 1 1 1 1 2:( ) 2012 2011 2010 2009 2008

x x x x

x

x

        

     

     

HD: a) 2m + 2n = 2m +n 2m + n – 2m – 2n = 0 2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = 1  

(2m -1)(2n – 1) = 1   2 1 1 1 2 1 1

n

m m n          b) 2m – 2n = 256 2n ( 2m – n - 1) = 28  Dễ thấy m n, ta xét 2 trường hợp :  + Nếu m – n = 1 n = 8 , m = 9  + Nếu m – n 2 thì 2m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà VT chỉ chứa TSNT 2  suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9 HD : ta có với mọi x,y và (y – 1)2012 0 với mọi y 2011 0 x y   

Suy ra : với mọi x,y . Mà 2012 2011 ( 1) 0 x y y     2012 2011 ( 1) 0 x y y    

 2011 0 2011, 1 1 0 x y x y y

       

ThuVienDeThi.com