Đề thi chọn học sinh giỏi trường năm học 20062007 môn Toán Lớp 7

Phòng GD-ĐT Đức thọ

Trường THCS Hoàng Xuân Hãn

Đề thi chọn học sinh giỏi trường năm học 2006–2007 Môn Toán – Lớp 7. Thời gian làm bài:90 phút

Câu1: Cho: a + b + c = 2007 và 1 1 1 1 90 a b b c c a      

Tính: S = . a b c b c c a a b     

Câu2: Tìm 3 phân số tối giản. Biết tổng của chúng bằng , tử số của chúng tỉ lệ 83 15120

thuận với: 5 ; 7 ; 11, mẫu số của chúng tỉ lệ nghịch với: . 1 1 1 ; ; 4 5 6 Câu3: Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn đẳng thức: 2x2 + 3y2 = 77. Câu4: Tìm x biết rằng: . 2 2 3 2 x x x      Câu5: Cho tam giác ABC có .Dùng ngoài tam giác ấy các tam giác đều ABD và ˆ 120 A   ACE a) Gọi M là giao điểm của BE và CD. Tính BMC. b) Chứng minh rằng: MA + MB = MD. c) Chứng minh: AMC = BMC. d) áp dụng các kết quả trên giải bài toán sau: Dùng điểm I trong tam giác NPQ (có các góc nhỏ hơn 120) sao cho: NIP = PIQ = QIN.

ThuVienDeThi.com

Đáp án và biểu điểm Toán 7 năm học: 2006 – 2007 Câu1: Từ: a + b + c = 2007 =>a = 2007 – (b + c); b = 2007 – (a + c); c = 2007 – (b + a)

S = = 2007 ( ) 2007 ( ) 2007 ( ) b c a c a b b c a c a b           

= 1 1 1 1 2007 3 2007. 3 90 b c a c a b              

223 193 3 3 19 10 10 10   

Câu2: Gọi các phân số cần tìm là: ; ; ;( ; ; ; ; ; ; ; ; 0) a c e a b c d e f Z b d f b d f  

Tử số của chúng tỉ lệ thuận với: 5; 7; 11 nên ta có a:c:e = 5:7:11 hay: 5 7 11 a c e  

Mẫu số của chúng tỉ lệ nghịch với => mẫu số tỉ lệ thuận với 4; 5; 6=> 1 1 1 ; ; 4 5 6 4 5 6 b d f  

Đặt: = k; = p => a = 5k ; c = 7k ; e = 11k; b = 4p; d = 5p; f = 6p 5 7 11 a c e   4 5 6 b d f  

5 7 11 75 84 110 269 4 5 6 60 60 a c e k k k k k k k b d f p p p p p         

Mà => 83 1883 15120 120 a c e b d f     269. 1883 7 60. 120 2 k k p p   

=> ; ; 5.7 35 4.2 8 a b   7.7 49 5.2 10 c d   11.7 77 6.2 12 e

f  

Câu3: Từ 2x2 + 3y2 = 77 => => kết hợp với 2x2 là số chẵn =>3y2 2 0 3 77 y   2 0 25 y   là số lẻ => y2 là số lẻ => y2 { 1; 9; 25 }  + Với y2 = 1 => 2x2 = 77 – 3 = 74 => x2 = 37 (KTM) + Với y2 = 9 => 2x2 = 77 – 27 = 50 => x2 = 25 => x =5 hoặc x = -5 + Với y2 = 25 => 2x2 = 77 – 75 = 2 => x2 = 1 => x = 1 hoặc x = -1 Vậy ta có các trường hợp sau:

x 1 -1 1 -1 5 -5 5 -5 y 5 5 -5 -5 3 3 -3 -3 Câu4: (1) 2 2 3 2 x x x     

+ Với thì: (1)  2 – x + 2x +3 – x = -2  0x = -7 ( KTM) 3 2 x  

+ Với thì (1)  2 – x – 2x – 3 – x = -2  - 4x = - 1 => x = (TM) 3 2 2 x   1 4

+ Với x > 2 thì (1)  x - 2 – 2x – 3 – x = -2  - 2x = 3 => x = (KTM) 3 2 

Vậy x = 1 4

ThuVienDeThi.com

Bài5: a)Ta có: ADC = ABE (c-g-c) => ADC =ABE Gọi F là giao điểm của AB và CD. Xét ADFvàBMF Có ; AFD = BFM ( đối đỉnh) ˆ ˆ D B  => BMF =FAD => BMF = 60=>BMC =120 b)Trên tia MD lấy điểm P sao cho BM = MP =>BMP là tam giác đều => BP = BM; MBP =60

Kết hợp với ABD =60 => MBA = PBD => PBD = MBA (c-g-c) => AM = DP

AM + MB = DP + PM = DM c) Từ: PBD = MBA => AMB = DPB, mà: BPD = 120=>BMA =120 => AMC =120 =>AMC = BMC d) áp dụng các kết quả trên, ta giải bài toán như sau: Dùng ngoài tam giác NPQ các tam giác đều NPA và NQB. Nối AQ và BP chúng cắt nhau tại I. Thì I là điểm thỏa mãn: NIP = PIQ = QIN => Điểm I là điểm cần dùng

ThuVienDeThi.com