Kiểm định chất lượng học sinh giỏi lớp 7 năm học 2014 - 2015 môn Toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRIỆU SƠN

Hướng dẫn chấm

KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 7

Năm học 2014 - 2015

Môn: Toán Ngày 14 tháng 4 năm 2015 (Hướng dẫn chấm có 03 trang, gồm 05 câu)

Câu Nội dung Điểm

1.     . 2 1 2 5 2

3 2 2 2. 2 5. 2

12 2 2. 2 5. 2

16

3 : 4 9 5. 5 2

512 5. 2

16

3 : 4 9 5. 5 2

2 2 7

3 6

2 7 2 7

3 7

2 7 2 7

3 7

2 7

3 3 7 7

       

            

 

                  

 A 2,0

1 (4,0đ)

2. Ta có: .2 2 8 16 2 15 1 2 3 3 3 3 3           x x x x x

Suy ra: 25

9 16

25 9 18     z y

Do đó, ta có: . 57 32 25 16

25 9 18        y y y

. 41 50 9 25

9 9 18        z z z

Vậy . 100 41 57 2        z y x B

0,5

0,25

0,5

0,5

0,25 1. Trừ từng vế hai đẳng thức đã cho ta được:

        

2 2

5 3 25

9 50

3 10

3                         y x y x y x y x y y x x

Suy ra: . 5 3   y x

Thay vào hai đẳng thức đã cho ta được 5 3  y x . 10

1 ; 2 1    y x

Thay vào hai đẳng thức đã cho ta được 5 3   y x . 10

1 ; 2 1    y x

0,75

0,25

0,5

0,5 2 (4,0đ) 2. Từ suy ra x – 3 và x + cùng dấu.   0 2 1 3          x x 2 1

Dễ thấy x – 3 < x + nên ta có: 2 1

 x – 3 và x + cùng dương x – 3 > 0 x > 3. 2 1  

 x – 3 và x + cùng âm x + < 0 x < - . 2 1  2 1  2 1

Vậy x > 3 hoặc x < - . 2 1

0,25

0,5

0,5

0,5

0,25

3 (5,0đ)

1. Ta có:    

     . 3 2 2

5 2 7 3 2 2

5 3 2 7 3 2 2

8 7 2 3 2

8 7

   

       

n n n n n n n

Phân số đã cho có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất.   3 2 2

5

 n

Từ đó suy ra: .2  n

Vậy giá trị lớn nhất của phân số đã cho bằng 6 khi .2  n

0,75

0,25

0,75 0,25

ThuVienDeThi.com

2. Vì p(x) 5 với mọi x nguyên nên p(0) = d 5.   p(1) = a + b + c + d 5 (1)  p(- 1) = - a + b - c + d 5 (2)  Từ (1) và (2) suy ra 2(b + d) 5 và 2(a + c) 5 .   Vì 2(b + d) 5, mà (2, 5) = 1 nên b + d 5 suy ra b 5.    p(2) = 8a + 4b + 2c + d 5 mà d 5; b 5 nên 8a + 2c 5.     Kết hợp với 2(a + c) 5 6a 5 a 5 vì (6, 5) = 1. Từ đó suy ra c 5.       Vậy a, b, c, d đều chia hết cho 5.

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

3. Vì nên (1) a b c   1 . a a a a b c b c b c a      

Tương tự, ta có: (2) 1 . b b b b c a c a c a b       

(3) 1 . c c c c a b a b a b c       

Từ (1), (2) và (3) suy ra: 2 2 2 2. a b c a b c b c c a a b a b c           

0,25

0,25

0,25

0,25

1.

M

D

I C E

N

O

B

A

Tam giác ABC cân tại A nên (đối đỉnh) A A A A ; ; ABC ACB NCE ACB   Do đó: . ( . . ) MDB NEC g c g DM EN    

0,75 0,75

2. Ta có ( . . ) MDI NEI g c g MI NI     Vì BD = CE nên BC = DE . Lại có DI < MI, IE < IN nên DE = DI + IE < MI + IN = MN Suy ra BC < MN.

0,5

0,75

0,25

4 (5,0đ)

3) Ta chứng minh được:

A A ( . . ) , . ABO ACO c g c OC OB ABO ACO     

( . . ) . MIO NIO c g c OM ON    

Ta lại có: BM = CN. Do đó ( . . ) BMO CNO c c c  

, Mà: suy ra , mà đây là hai góc kề bù nên A A MBO NCO   A A MBO ACO  A A NCO ACO  CO AN.  Vì tam giác ABC cho trước, O là giao của phân giác góc A và đường vuông góc với AC tại C nên O cố dịnh.

0,75

0,5

0,5

0,25

ThuVienDeThi.com