Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2015 2016 môn Toán 7

UBND HUYỆN HOÀI NHƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2015 – 2016

MÔN: TOÁN 7 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

(Đề gồm 01 trang)

Bài 1: (4,0 điểm)

a) So sánh: 1 26 17   và 99 .

b) Chứng minh:

1 1 1 1 1 .... 10 1 2 3 99 100      > .

c) Cho 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 3 4 2013 2014 2015 S = -  -   -  và 1 1 1 1 1 ... 1008 1009 1010 2014 2015 P =      .

Tính ( )

2016 S P - .

Bài 2: (4,0 điểm)

a) Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm hợp số r. b) Tìm số tự nhiên ab sao cho

2 3 ( ) ab a b = 

Bài 3: (6,0 điểm)

a) Cho x; y; z ¹ 0 và x – y – z = 0. Tính giá trị biểu thức 1 1 1 z x y B x y z æ ö æ ö æ ö = - -  ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø

b) Cho 3 2 2 4 4 3 4 3 2 x y z x y z - - - = = . Chứng minh rằng: 2 3 4 x y z = =

c) Cho biểu thức 5

2 x M x

- = - . Tìm x nguyên để M có giá trị nhỏ nhất.

Bài 4: (3,0 điểm) Cho · 0 60 xAy = vẽ tia phân giác Az của góc đó. Từ một điểm B trên tia Ax vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C. Kẻ BH  Ay tại H, CM  Ay tại M, BK  AC tại K. Chứng minh:

a) KC = KA b) BH = 2

AC c) ΔKMC đều.

Bài 5: (3,0 điểm) Cho D ABC có µ µ 2. B C = < 900. Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = HC. Chứng minh rằng đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC.

Ghi chú: Học sinh không được sử dụng các loại máy tính.

Họ và tên thí sinh:.............................................................SBD:............

Họ tên và chữ ký giám thị 1:......................................................................

Họ tên và chữ ký giám thị 2:......................................................................

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN – TOÁN 7 – NĂM HỌC 2015 – 2016

Đề chính thức

ThuVienDeThi.com

Câu Nội dung Điểm

Bài1: (4,0 điểm)

a)

So sánh: 1 26 17   và 99 1,0đ Ta có: 17 16; 26 25 > > => 1 26 17   > 16 25 1 4 5 1 10  =  = 0,5đ Mà 10 = 100 99 > Vậy: 1 26 17   > 99 . 0,5đ

b)

Chứng minh:

1 1 1 1 1 .... 10 1 2 3 99 100      > 1,0đ

Ta có:

1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; ;...; 1 100 2 100 3 100 99 100 > > > > 0,5đ

Suy ra:

1 1 1 1 1 .... 100. 10 1 2 3 100 100     > =

Vậy: 10 100

1 .... 3 1 2 1 1 1 >    

0,5đ

c)

Cho 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 3 4 2013 2014 2015 S = -  -   -  và

1 1 1 1 1 ... 1008 1009 1010 2014 2015 P =      . Tính ( )

2016 S P -

2,0đ

Ta có: 1 1 1 1 1 ... 1008 1009 1010 2014 2015 P =     

1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 2 3 1006 1007 1008 2014 2015 æ ö =          ç ÷ è ø

1 1 1 1 1 ... 2 3 1006 1007 æ ö -      ç ÷ è ø

0,5đ

1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 2 3 1006 1007 1008 2014 2015 æ ö =          ç ÷ è ø

1 1 1 1 1 2 ... 2 4 6 2012 2014 æ ö -      ç ÷ è ø 1,0đ

1 1 1 1 1 1 1 ...... 2 3 4 2013 2014 2015 = -  -   -  = S.

Do đó ( )

2016 S P - = 0

0,5đ

Bài 2: (4,0 điểm)

a)

Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư là r là hợp số. Tìm hợp số r. 2,0đ

Vì p chia cho 42 có số dư là r nên: p = 42k + r (0 < r < 42, k, r tự nhiên)

Hay p = 2.3.7k + r.

0,5đ

Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2; 3; 7

=> r là hợp số không chia hết cho 2; 3; 7 và r < 42 1,0đ

Học sinh chỉ ra được r = 25

Vậy hợp số r = 25 0,5đ

b) Tìm số tự nhiên ab sao cho

2 3 ( ) ab a b =  2,0đ

Ta có: (a + b)3 =

2 ab là số chính phương nên a + b là số chính phương. Đặt a + b = x2 (x Î * N ) 0,5đ

Suy ra:

2 3 ( ) ab a b =  = x6 => x3 = ab < 100 và ab > 8 => 8 < x3 < 100 => 2 < x < 5 => x = 3; 4 vì x Î * N

1,0đ

ThuVienDeThi.com