Đề thi học sinh giỏi Toán 7 Huyện Hoằng Hoá năm học 2012 - 2013

đề thi HSG toán 7 – huyện hoằng hoá

Năm học: 2012-2013

Câu 1(4,5 điểm)

a/ Tính giá trị biểu thức : 1 1 1 2 3,5 : 4 3 7,5 3 6 7 M              

b/ Tìm x biết :  

2 2 3 16 x  

c/ Tìm x, y biết rằng :     2012 2014 2 5 3 4 0 x y    

Câu 2 (4,5 điểm)

a/ Tìm đa thức M biết rằng :   2 2 2 5 2 6 9 M x xy x xy y     

b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

2 2

2 2

3 2 x y B x y     

c/ Tìm x, y, z biết : và x – y + z = 49 ; 2 3 5 4 x y y z  

Câu 3 (5,0 điểm)

a/ Tìm hai số hữu tỷ a và b biết   2 : a b a b a b    

b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của bểu thức : 2012 2013 M x x    

c/ Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2002 là số chính phương.

Câu 4 (4,0 điểm) : Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các

tam giác vuông tại A : ABD, ACE sao cho AB = AD, AE = AC. Kẻ AH vuông

góc với BC, DM vuông góc với AH, EN vuông góc với AH.

a/ Chứng minh DM = AH

b/ Chứng minh MN đi qua trung điểm của DE

Câu 5 (2,0 điểm) : Cho tam giác đều ABC. M là một điểm nằm trong tam giác sao

cho MA : MB : MC = 3:4:5. Tính số đo góc AMB.

Hết

ThuVienDeThi.com

Đáp án Toán 7 Câu Nội dung Điểm

a/ 1 1 1 7 7 25 22 15 2 3,5 : 4 3 7,5 : 3 6 7 3 2 6 7 2 M                             35 43 15 35 42 15 245 15 490 645 155 69 : . 1 6 42 2 6 43 2 43 2 86 86 86 86 M              

1,5

b/ .        

2 2 2

2 2 2 3 4 2 3 4 3,5 2 3 16 2 3 4 0,5 2 3 4

x x x x x x x

                         Vậy : x = 3,5 ; x = -0,5

1,5

Câu 1

4,5

c/     2012 2014 2 5 3 4 0 x y    

Ta có :        

2012

2012 2014

2014 2 5 0

2 5 3 4 0 3 4 0

x

x y y

         

   Mà =>     2012 2014 2 5 3 4 0 x y         2012 2014 2 5 3 4 0 x y    

=> . Vậy    

2012

2014

1 2 2 5 0 2

1 3 4 0 13

x x

y y

                

1 2 2

1 13

x

y

    

1,5

a/     2 2 2 2 2 2 5 2 6 9 6 9 5 2 M x xy x xy y M x xy y x xy            => 2 2 2 2 2 6 9 5 2 11 M x xy y x xy x xy y         1,5

b/

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 1 2 2 2 x y x y B x y x y x y               B lớn nhất khi nhỏ nhất. 2 2 2 x y  

Ta có => nhỏ nhất bằng 2, khi x =

2

2 2

2

0 2 2 0

x x y y

         

2 2 2 x y  

y = 0

Khi đó B lớn nhất = 3 1 1 2 2 

1,5

Câu 2

4,5

c/ => => ; 2 3 5 4 x y y z   ; 10 15 15 12 x y y z  

49 7 10 15 12 10 15 12 7 x y z x y z          

=> x = -70 ; y = -105 ; z = -84

1,5

Câu 3

5,0

a/ Tìm hai số hữu tỷ a và b biết: (1)   2 : a b a b a b    

Từ   2 2 2 3 3 a b a b a b a b a b a b          

Mặt khác : 3 : 3 3 : 4 3 4 a b a b b b b b b b        

2,0

ThuVienDeThi.com

=> . 3 9 3. 4 4 a   

Vậy : 9 3 ; 4 4 a b   

b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của bểu thức : 2012 2013 M x x    

Sử dụng : . Dấu “=” xảy ra khi A,B cùng dấu. (*) A B A B   

Ta có :

2012 2013 2012 2013 2012 2013 1 M x x x x x x              

Vậy M (min) = 1 khi ( 2012 - x)(x – 2013) ≥ 0 => 2012 ≤ x ≤

2013

1,5

Nhận xét : Nếu số chính phương chia hết cho a ( là số nguyên tố) thì nó chia hết cho a2 Giả sử A = n2 + 2002 là số chỉnh phương. - Xét trường hợp 1 : n là số chẵn => n = 2k => n2 = 4k2=> A = n2 + 2002 = 4k2 + 2002 Ta có : 4k2 chia hết cho 2 , 2002 chia hết cho 2 => A chia hết cho 2 => A chia hết cho 4. Do 4k2 chia hết cho 4, còn 2002 không chia hết cho 4 => A không chia hết cho 4(loại) - Xét trường hợp 2 : n là số lẻ => n = 2k +1 => A là số chính phương lẻ, có dạng (2b + 1)2 = 4b2 + 4b + 1 chia cho 4 dư 1. Mà : A = (2k + 1)2 + 2002 = 4k2 + 4k + 2003 chia cho 4 dư 3 ( loại) Vậy không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2002 là số chính phương

1,5

Câu 4

4,0

Hình vẽ

H

I

4

3

2

1

1

1

N

M

E

D

C B

A

2,0

ThuVienDeThi.com