Đề thi chọn học học sinh giỏi Toán 7

PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN ĐỀ THI CHỌN HỌC HỌC SINH GIỎI TOÁN 7

TRƯỜNG THCS XUÂN HƯNG (Thời gian làm bài 90 phút) Ngày thi 19/11/2015

Bài 1:(4,0 điểm) a) Cho hai số hữu tỉ và với b > 0, d > 0 và . a b

c d

a c b d 

Chứng minh . a a c c b b d d    

b) Chứng minh rằng nếu thì a c b d  5 3 5 3 5 3 5 3 a b c d a b c d      Bài 2:(6,0 điểm) Thực hiện phép tính một cách hợp lí:

a) ; 1 5 1 4 0,5 0,4 3 7 6 35     

b) 8 1 1 1 1 1 1 1 1 9 72 56 42 30 20 12 6 2        

c)

1 1 1 1 0,25 0,2 6 3 7 13 3 . 2 2 2 1 7 1 0,875 0,7 3 7 13 6

   

    

Bài 3:(3,0 điểm) Cho a, b Q. Chứng tỏ rằng:  a) ; b) a b a b    a b a b    Bài 4:(4,0 điểm) Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ tia Ax sao cho , trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa A A CAx ACB  điểm C vẽ tia Ay sao cho . A A BAy ABC  a) Chứng minh Ax và Ay là hai tia đối nhau. b) Qua C vẽ đường thẳng d vuông góc với BC. Đường thẳng d có vuông góc với đường thẳng xy không ? Vì sao ? Bài 5:(3,0 điểm) Cho tam giác ABC có các góc A, B, C lần lượt tỉ lệ với 3, 5, 1 a) Tính số đo các góc của tam giác ABC. b) Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC ở D. Tính . AADC

Hết

Họ và tên thí sinh: .................................................................. Lớp 7 ...

ThuVienDeThi.com

Họ và tên của giám thị 1: .......................................................... Chữ kí ...............................

Họ và tên của giám thị 2: .......................................................... Chữ kí ...............................

ĐÁP ÁN BÀI THI CHỌN HSG TOÁN 7 (Thi ngày 19/11/2015) Bài ý Nội dung đánh giá Điể m a với b > 0, d > 0. Từ (1) a c ad bc b d   

Thêm ab vào hai vế của (1) ta được ad + ab < bc + ab a(b + d) < b(a + c) 

(1) a a c b b d     Thêm cd vào hai vế của (1) ta được ad + cd < bc + cd d(a + c) < c(b + d) 

(2) a c c b d d    

Từ (1) và (2) suy ra a a c c b b d d    

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

0,5

1 (4,0đ )

b Từ a c a b b d c d   

Mà 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 a b a b a b a b c d c d c d c d         

Từ 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 a b a b a b c d c d c d a b c d           

Vậy nếu thì a c b d  5 3 5 3 5 3 5 3 a b c d a b c d     

0,5

0,5

0,5

0,5 a = 1 5 1 4 0,5 0,4 3 7 6 35      1 1 1 2 5 4 2 3 6 5 7 35                 

3 2 1 14 25 4 6 35      

= 6 35 6 35 

1 1 2 

0,5

0,5

0,5

0, 5

2 (6,0đ )

b = 8 1 1 1 1 1 1 1 1 9 72 56 42 30 20 12 6 2        

8 1 1 1 1 1 1 1 1 9 72 56 42 30 20 12 6 2               =

8 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 9 8 9 7 8 2 3 2              

0,5

0,5

0,5

0,5

ThuVienDeThi.com

8 1 1 9 9 8 8 0 9 9

        

  

c 1 1 1 1 1 1

6 3 7 13 3 4 5 . 7 7 7 1 1 1 7 2 6 8 10 3 7 13

   

          

1 1 1 2 1 6 6 8 10 . 1 1 1 2 7 7 6 8 10

                 

1 2 6 . 2 7 7 1 6 7 7 7 1 7

 

 

 

0,5

0,5

0,5

0,5 a Với mọi a, b Q ta có : a và - a ; b và - b  a  a  b  b  suy ra a + b và - a - b a + b a b   a b      a b  

Do đó -   a b a b a b     

Vậy , dấu "=" xảy ra khi xy 0 a b a b    

0,5

0,5 0,5 0,5

3 (3,0đ )

b Theo câu a ta có a b b a b b a       a b a b    

0,5 0,5

- Vẽ hình, viết GT&KL 0,5

a - Hai góc xAC và ACB là 2 góc so le trong mà nên A A CAx ACB  Ax//BC - Hai góc yAB và ABC là 2 góc so le trong mà nên A A BAy ABC  Ay//BC - Theo tiên đề Ơ - clit, qua điểm A chỉ có một đường thẳng song song với BC nên đường thẳng chứa các tia Ax và Ay trùng nhau Vậy Ax và Ay là hai tia đối nhau (Điểm A nằm trên đường thẳng xy)

0,5 0,5

0,5 0,5

4. (4,0đ )

b Gọi D là giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng xy . Vì xy //BC nên (hai góc so le trong). A A xDC BCD  Do đó đường thẳng d vuông góc với đường thẳng BC tại C nên . A A 0 0 90 90 BCD xDC    Điều này chứng tỏ d xy 

0,5

0,5 0,5 5 - Vẽ hình, viết GT&KL 0,5

A

B C

D x y

d

B

C

D

ThuVienDeThi.com