Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7 - Đề 15

Thời gian làm bài: 120’. Câu 1: Tính :

a) A = 100 . 99

1 .... 4.3 1 3.2 1 2.1 1     .

b) B = 1+ ) 20 ... 3 2 1( 20

1 .... ) 4 3 2 1( 4 1 ) 3 2 1( 3 1 ) 2 1( 2 1              

Câu 2:

a) So sánh: 1 26 17   và 99 .

b) Chứng minh rằng: 10 100

1 .... 3 1 2 1 1 1      .

Câu 3: Tìm số có 3 chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1:2:3 Câu 4 Cho tam giác ABC có góc B và góc C nhỏ hơn 900 . Vẽ ra phía ngoài tam giác ấy các tam giác vuông cân ABD và ACE ( trong đó góc ABD và góc ACE đều bằng 900 ), vẽ DI và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC. Chứng minh rằng:

a. BI=CK; EK = HC; b. BC = DI + EK. Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 1 2001    x x

------------------------------------------ hết ---------------------------------------------

Câu 1: a) Ta có: 2 1 1 1 2.1 1   ; 3 1 2 1 3.2 1   ; 4 1 3 1 4.3 1   ; …; 100

1 99

1 100 . 99

1  

Vậy A = 1+ 100

99 100

1 1 100

1 99

1 99

1 .... 3 1 3

1 2 1 2

1                               

b) A = 1+                            

2

21 . 20 20

1 .... 2

5.4 4 1 2

4.3 3 1 2

3.2 2 1 =

= 1+           21 ... 4 3 2 2 1 2 21 ... 2 4 2 3

=       1 2

22 . 21 2 1 = 115.

Câu 2: a) Ta có: 4 17 ; 5 26  nên 1 5 4 1 26 17      hay 10 1 26 17   

Còn 99 < 10 .Do đó: 99 1 26 17   

ThuVienDeThi.com

b) ; 10

1

1

1  10

1

2

1  ; 10

1

3

1  ; …..; 10

1

100

1  .

Vậy: 10 10

1 . 100 100

1 .... 3

1

2

1

1

1      

Câu 3: Gọi a,b,của là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm . Vì mỗi chữ số a,b,của không vượt quá 9 và ba chữ số a,b,của không thể đồng thời bằng 0 , vì khi đó ta không được số có ba chữ số nên: 1  a+b+c  27 Mặt khác số phải tìm là bội của 18 nên a+b+c =9 hoặc a+b+c = 18 hoặc a+b+c=17

Theo giả thiết, ta có: 6 3 2 1

c b a c b a      Do đó: ( a+b+c) chia hết cho 6

Nên : a+b+c =18  3 6 18 3 2 1     c b a  a=3; b=6 ; của =9

Vì số phải tìm chia hết cho 18 nênchữ số hàng đơn vị của nó phải là số chẵn. Vậy các số phải tìm là: 396; 936. Câu 4: a) Vẽ AH  BC; ( H BC) của ABC + hai tam giác vuông AHB và BID có: BD= AB (gt) Góc A1= góc B1( cùng phụ với góc B2)  AHB= BID ( cạnh huyền, góc nhọn) AH BI (1) và DI= BH + Xét hai tam giác vuông AHC và CKE có: Góc A2= góc C1( cùng phụ với góc C2) AC=CE(gt)  AHC= CKB ( cạnh huyền, góc nhọn) AH= CK (2) từ (1) và (2)  BI= CK và EK = HC. b) Ta có: DI=BH ( Chứng minh trên) tương tự: EK = HC Từ đó BC= BH +Hc= DI + EK. Câu 5: Ta có: A = 1 2001    x x = 2000 1 2001 1 2001         x x x x

Vậy biểu thức đã cho đạt giá trị nhỏ nhất là 2000 khi x-2001 và 1-x cùng dấu, tức là :

ThuVienDeThi.com

1  x  2001 biểu điểm : Câu 1: 2 điểm . a. 1 điểm b. 1 điểm Câu 2: 2 điểm : a. 1 điểm b . 1 điểm . Câu 3 : 1,5 điểm Câu 4: 3 điểm : a. 2 điểm ; b. 1 điểm . Câu 5 : 1,5 điểm . ---------------------------------------------------------------------

ThuVienDeThi.com