Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7 - Đề 13

Thời gian làm bài : 120 phút.

Câu 1 : ( 3 điểm).

1. Ba đường cao của tam giác ABC có độ dài là 4,12 ,a . Biết rằng a là một số tự nhiên. Tìm a ?

2. Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức

d

c b a  ( a,b,c ,d 0, ab, cd) ta suy ra được

các tỉ lệ thức:

a) d c

c b a

a

   . b) d

d c b

b a    .

Câu 2: ( 1 điểm). Tìm số nguyên x sao cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) < 0. Câu 3: (2 điểm).

Tìm giá trị nhỏ nhất của: A =  x-a +  x-b + x-c +  x-d với a<b<c<d. Câu 4: ( 2 điểm). Cho hình vẽ.

a, Biết Ax // Cy. so sánh góc ABC với góc A+ góc C. b, góc ABC = góc A + góc C. Chứng minh Ax // Cy.

Câu 5: (2 điểm) Từ điểm O tùy ý trong tam giác ABC, kẻ OM, ON , OP lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA, Ab. Chứng minh rằng: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2

---------------------------------------------- Hết ------------------------------------------

Câu 1: Gọi x, y, z là độ dài 3 cạnh tương ứng với các đường cao bằng 4, 12, a.

Ta có: 4x = 12y = az = 2S  x= S/2 ; y = S/6; z = 2S/a (0,5 điẻm)

A

C

B

x

y

ThuVienDeThi.com

Do x-y < z< x+y nên

3 2 2 6 2 6 2 2 6 2        a S S a

S S S (0,5 điểm)

 3, a , 6 Do a  N nên a=4 hoặc a= 5. (0,5 điểm)

2. a. Từ

d

c b a   d c

c b a

a d c

b a c a d c

b a d b c a

    

   

   (0,75 điểm)

b.

d

c b a  

d

d c b

b a d c

b a d b d c

b a d b c a     

   

   (0,75 điểm)

Câu 2: Vì tích của 4 số : x2 – 1 ; x2 – 4; x2 – 7; x2 – 10 là số âm nên phải có 1 số âm hoặc 3 số âm. Ta có : x2 – 10< x2 – 7< x2 – 4< x2 – 1. Xét 2 trường hợp: + Có 1 số âm: x2 – 10 < x2 – 7  x2 – 10 < 0 < x2 – 7  7< x2 < 10  x2 =9 ( do x  Z )  x =  3. ( 0,5 điểm) + có 3 số âm; 1 số dương. x2 – 4< 0< x2 – 1  1 < x2 < 4 do x Z nên không tồn tại x. Vậy x =  3 (0,5 điểm) Câu 3: Trước tiên tìm GTNN B = x-a +  x-b với a<b. Ta có Min B = b – a ( 0,5 điểm) Với A =  x-a +  x-b + x-c +  x-d = [ x-a +  x-d] + [x-c +  x-b] Ta có : Min [ x-a +  x-d] =d-a khi axd

Min [x-c +  x-b] = c – b khi b x  c ( 0,5 điểm) Vậy A min = d-a + c – b khi b x  c ( 0, 5 điểm) Câu 4: ( 2 điểm) A, Vẽ Bm // Ax sao cho Bm nằm trong góc ABC  Bm // Cy (0, 5 điểm) Do đó góc ABm = góc A; Góc CBm = gócC  ABm + CBm = A + C tức là ABC = A + C ( 0, 5 điểm) b. Vẽ tia Bm sao cho ABm và A là 2 góc so le trong và ABM = A  Ax// Bm (1) CBm = C  Cy // Bm(2) Từ (1) và (2)  Ax // By Câu 5: áp dụng định lí Pi ta go vào tam giác vuông NOA và NOC ta có: AN2 =OA2 – ON2; CN2 = OC2 – ON2  CN2 – AN2 = OC2 – OA2 (1) ( 0, 5 điểm)

ThuVienDeThi.com

Tương tự ta cũng có: AP2 - BP2 = OA2 – OB2 (2); MB2 – CM2 = OB2 – OC2 (3) ( 0, 5 điểm) Từ (1); (2) và (3) ta có: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 ( 0, 5 điểm). ---------------------------------------------------------------

ThuVienDeThi.com