Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7 - Đề 11

Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: Tìm các số a,b,c biết rằng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b Câu 2: Tìm số nguyên x thoả mãn: a,5x-3 < 2 b,3x+1 >4 c, 4- x +2x =3 Câu3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =x +8 -x Câu 4: Biết rằng :12+22+33+...+102= 385. Tính tổng : S= 22+ 42+...+202

Câu 5 : Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC tại D.

a. Chứng minh AC=3 AD b. Chứng minh ID =1/4BD ------------------------------------------------- Hết ------------------------------------------ Câu1: Nhân từng vế bất đẳng thức ta được : (abc)2=36abc

+, Nếu một trong các số a,b,c bằng 0 thì 2 số còn lại cũng bằng 0 +,Nếu cả 3số a,b,c khác 0 thì chia 2 vế cho abc ta được abc=36 +, Từ abc =36 và ab=c ta được c2=36 nên c=6;c=-6 +, Từ abc =36 và bc=4a ta được 4a2=36 nên a=3; a=-3 +, Từ abc =36 và ab=9b ta được 9b2=36 nên b=2; b=-2

-, Nếu c = 6 thì avà b cùng dấu nên a=3, b=2 hoặc a=-3 , b=-2 -, Nếu c = -6 thì avà b trái dấu nên a=3 b=-2 hoặc a=-3 b=2 Tóm lại có 5 bộ số (a,b,c) thoã mãn bài toán

(0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6) Câu 2. (3đ) a.(1đ) 5x-3<2=> -2<5x-3<2 (0,5đ)

…  1/5<x<1 (0,5đ) b.(1đ) 3x+1>4=> 3x+1>4hoặc 3x+1<-4 (0,5đ)

*Nếu 3x+1>4=> x>1 *Nếu 3x+1<-4 => x<-5/3 Vậy x>1 hoặc x<-5/3 (0,5đ) c. (1đ) 4-x+2x=3 (1)

* 4-x0 => x4 (0,25đ) (1)<=>4-x+2x=3 => x=-1( thoả mãn đk) (0,25đ) *4-x<0 => x>4 (0,25đ)

ThuVienDeThi.com

(1)<=> x-4+2x=3 <=> x=7/3 (loại) (0,25đ) Câu3. (1đ) Áp dụng a+b a+bTa có

A=x+8-xx+8-x=8 MinA =8 <=> x(8-x) 0 (0,25đ)

*   

 



0 8

0 x x =>0x8 (0,25đ)

*   

 



0 8

0 x x =>

  





8

0

x

x không thoã mãn(0,25đ)

Vậy minA=8 khi 0x8(0,25đ) Câu4. Ta có S=(2.1)2+(2.2)2+...+ (2.10)2(0,5đ) =22.12+22.22+...+22.102

=22(12+22+...+102) =22.385=1540(0,5đ) Câu5.(3đ)

Chứng minh: a (1,5đ) Gọi E là trung điểm CD trong tam giác BCD có ME là đường trung bình => ME//BD(0,25đ) Trong tam giác MAE có I là trung điểm của cạnh AM (gt) mà ID//ME(gt) Nên D là trung điểm của AE => AD=DE (1)(0,5đ) Vì E là trung điểm của DC => DE=EC (2) (0,5đ) So sánh (1)và (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25đ) b.(1đ) Trong tam giác MAE ,ID là đường trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25đ) Trong tam giác BCD; ME là Đường trung bình => ME=1/2BD (2)(0,5đ) So sánh (1) và (2) => ID =1/4 BD (0,25đ)

----------------------------------------------------------------

A

B M

C

D

E

ThuVienDeThi.com