Đề & ĐA HSG Toán 7 năm 2013-2014

1

Đề thi học sinh giỏi năm học 2009-2010

Môn: Toán 7 Thời gian: 120 phút

Bài 1 (4 điểm) a/ Tính:

A=

3 3 3 1 1 1 4 11 13 2 3 4 5 5 5 5 5 5 7 11 13 4 6 8

        

b/ Cho 3 số x, y, z là 3 số khác 0 thỏa mãn điều kiện: z

z y x y

y x z x

x z y        

Hãy tính giá trị biểu thức:

B = . 1 1 1 x y z y z x                

Bài 2 (4 điểm)

a/ Tìm x, y, z biết: 2 1 2 0 2 3 x y x xz      

b/ CMR: Với mọi n nguyên dương thì chia hết cho 10. 2 2 3 2 3 2 n n n n     

Bài 3 (4 điểm)

Một bản thảo cuốn sách dày 555 trang được giao cho 3 người đánh máy. Để đánh máy một trang người thứ nhất cần 5 phút, người thứ 2 cần 4 phút, người thứ 3 cần 6 phút. Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cùng nhau làm từ đầu đến khi đánh máy xong.

Bài 4 (6 điểm):

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA. Chứng minh rằng: a/ AC=EB và AC // BE b/ Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho: AI=EK.

Chứng minh: I, M, K thẳng hàng. c/ Từ E kẻ EH BC (H BC). Biết góc HBE bằng 500; góc MEB bằng 250, tính các   góc HEM và BME ?

Bài 5 (2 điểm):

Tìm x, y N biết:   

2 2 36 8 2010 y x   

ThuVienDeThi.com

2

Hướng dẫn chấm 2009-2010 Bài ý Nội dung Điểm a

+ = +

8 5 6 5 4 5

4 1 3 1 2 1

13

5 11

5 7 5

13

3 11

3 4 3

 

    

 

       

          

       

4 1 3 1 2 1 2 5

4 1 3 1 2 1

13

1 11

1 7 1 5

13

1 11

1 4 1 3

13 11 7

129 5

13 11 4

135 3

x x

x

x x

x

5 2

= + = = = 129 5

13 11 7 13 11 4

135 3

x

x x x x x

x

5 2

5 2 172 189  5 172

2 172 5 189

x

x x 

860 1289

2 1

4 điểm

b Ta có: y z x z x y x y z x y z         1 1 1 y z z x x y x y z       

  2 2 x y z y z z x x y x y z x y z            

1 1 1                  

x y z B y z x . . x y y z z x y z x    

. . 2.2.2 8 x y z x y z z y x      

Vậy B=8

0,5

0,5

0,5

0,5

a Áp dụng tính chất 0 A 

  2

1 1 0 0 2 2 2 2 0 0 3 3

0 0

x x

y y

x x z x xz

                              

1 2

2 3

1 2

x

y

z x

         Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2

0,25

1,5

0,25

2

4 điểm

b Ta có: = 2 2 3 2 3 2 n n n n      2 2 (3 3 ) (2 2 ) n n n n          2 2 3 3 1 2 2 1 n n    

= 10.(3n – 2n-1) 3 .10 2 .5   n n

Vì 10.(3n – 2n-1) chia hết cho 10 với mọi n nguyên dương Suy ra điều phải chứng minh.

0,75 0,5

0,5 0,25

3

4điểm

Gọi số trang người thứ nhất, người thứ 2, người thứ 3 đánh máy được theo thứ tự là x,y,z. Trong cùng một thời gian, số trang sách mỗi người đánh được tỉ lệ nghịch với thời gian cần thiết để đánh xong 1 trang; tức là số trang 3 người đánh tỉ lệ nghịch với 5; 4; 6.

Do đó ta có: . 1 1 1 : : : : 12:15:10 5 4 6 x y z  

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

. 555 15 12 15 10 12 15 10 37 x y z x y z          180; 225; 150 x y z    

Vậy số trang sách của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba đánh được lần

0,5

1,0

0,75

0,75 0,75

ThuVienDeThi.com