Đề & ĐA HSG Toán 7 năm 2010-2011

Phòng gd & đt hạ hoà Đề lần 1 cho Đội tuyển 7

Năm học: 2010-2011 Thời gian làm bài: 120 phút

Ngày 28/10/2010

Bài 1: Chứng minh rằng:

M = 3n+2 - 2n+2 +3n – 2n có tận cùng là 0 với mọi số tự nhiên n  1.

Bài 2: Tìm x:

a) 15 3 1 2    x

b) 1 x-3,2 + 2x- 3 5 x  

Bài 3: Chứng minh rằng: nếu (ad + bc)2 = 4abcd thì các số a, b, c, d lập thành một tỉ

lệ thức.

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=  

2

10 2 20 2010 5 x y          

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại B. Vẽ tia AD là phân giác của . ABAC (D BC) 

Vẽ tia CE là phân giác của . Hai tia AD và CE cắt nhau tại I. ABCA (E AB) 

a) Chứng minh rằng: A 0 135 CIA 

b) Vẽ tia Cx là tia đối của tia CA. Tia phân giác của góc BCx cắt tia AD tại K.

Tính góc ? ACKA

ThuVienDeThi.com

Hướng dẫn giảI đề lần 1-Hạ Hoà

Bài 1: Chứng minh rằng:

M = 3n+2 - 2n+2 +3n – 2n có tận cùng là 0 với mọi số tự nhiên n  1. Ta có:

        

n+2 n+2 n n n+2 n n+2 n n 2 n 2

n 1 M = 3 - 2 +3 -2 = 3 +3 - 2 +2 =3 3 +1 -2 2 +1

=3 .10 2 .5 10. 3 2 M 10 (n N*) n n n      

Vậy với n Ta có M luôn có tận cùng là 0 N* 

Bài 2: Tìm x:

a)

2 1 12 2 13 6,5 2 1 3 15 2 1 12 2 1 12 2 11 5,5

x x x x x x x x

                      

b) (1) 1 x-3,2 + 2x- 3 5 x  

Ta có: với mọi x 3,2 3,2 3,2 x x x     

dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3,2-x ; 0 

dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 1 2x- 2 5 5 x   1 2 0 5 x  

Suy ra: 1 1 x-3,2 + 2x- 3,2 2 3 5 5 x x x      

Do đó (1) vậy: 3,2 0 3,2 1 0,1 2 0 5

x x x x

             

0,1 3,2 x  

Bài 3: Ta có: (ad + bc)2 = (ad+bc)(ad+bc)=(ad)2+2adbc+(bc)2 Nên từ giả thiết (ad + bc)2 = 4abcd (ad)2+2adbc+(bc)2=4abcd  (ad)2-2adbc+(bc)2=0 

(ad)2-adbc-acbd+(bc)2=0 ad(ad-bc)-bc(ad-bc)=0 (ad-bc)2=0   

ad-bc=0 ad=bc ( Điều phải chứng minh)   a c b d 

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=  

2

10 2 20 2010 5 x y          

Ta có: với mọi x,y nên A 2010.  

2

10 2 0; 20 0 5 x y          



Dấu “=” xảy ra khi x=2/5; y=-20 Vậy GTNN của A là Amin=2010 khi x=2/5; y=-20

ThuVienDeThi.com

x

K

D

I

A

B

C

E

Bài 5:

GT

ABC; B=900; AD là phân giác của .  ABAC (D BC) 

CE là phân giác của . AD cắt CE tại I ABCA (E AB)  CK là phân giác của góc BCx

KL a) A 0 135 CIA 

b) =? ACKA

Giải: a) Xét tam giác AIC Ta có :

A A A A A A A A 0 0 0 BAC ACB AIC+CIA+ACI=180 AIC=180 -(CIA+ACI)=180 -( + ) 2 2 

Mà tam giác ABC vuông tại B nên A A o BAC+ACB=90 A 0 135 CIA  b) Vì hai góc ACB và BCx là hai góc kề bù nên hai tai phân giác của chúng vuông góc với nhau =900. AICK

Tam giác ICK có góc AIC là góc ngoài nên A A A AIC=ICK+IKC  A A A 0 0 0 CKA=AIC - ICK = 135 - 90 =45

Vậy =450 ACKA

ThuVienDeThi.com