Đề & ĐA HSG Toán 7 năm 2007-2008

Phòng Giáo dục- Đào tạo

*****

đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện

năm học: 2008 - 2009

môn: Toán 7 (Thời gian:120 phút, không kể thời gian giao đề)

Đề thi này gồm 01 trang

Bài 1 (4 điểm) a/ Tính:

A=

3 3 3 1 1 1 4 11 13 2 3 4 5 5 5 5 5 5 7 11 13 4 6 8

        

b/ Cho 3 số x,y,z là 3 số khác 0 thỏa mãn điều kiện: z

z y x y

y x z x

x z y        

Hãy tính giá trị biểu thức: B = . 1 1 1 x y z y z x                 Bài 2 (4điểm)

a/ Tìm x,y,z biết: 2 1 2 0 2 3 x y x xz      

b/ CMR: Với mọi n nguyên dương thì chia hết cho 10. 2 2 3 2 3 2 n n n n      Bài 3 (4 điểm).

Một bản thảo cuốn sách dày 555 trang được giao cho 3 người đánh máy. Để đánh máy một trang người thứ nhất cần 5 phút, người thứ 2 cần 4 phút, người thứ 3 cần 6 phút. Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cùng nhau làm từ đầu đến khi đánh máy xong. Bài 4 (6 điểm):

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA. Chứng minh rằng: a/ AC=EB và AC // BE b/ Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho: AI=EK. Chứng minh: I, M, K thẳng hàng. c/ Từ E kẻ EH BC (H BC). Biết góc HBE bằng 500; góc MEB bằng 250, tính các   góc HEM và BME ? Bài 5 (2điểm):

Tìm x, y N biết:   

2 2 36 8 2010 y x   

đề chính thức

ThuVienDeThi.com

Hướng dẫn chấm

Bài ý Nội dung Điểm a

+ = +

8 5 6 5 4 5

4 1 3 1 2 1

13

5 11

5 7 5

13

3 11

3 4 3

 

    

 

       

          

       

4 1 3 1 2 1 2 5

4 1 3 1 2 1

13

1 11

1 7 1 5

13

1 11

1 4 1 3

13 11 7

129 5

13 11 4

135 3

x x

x

x x

x

5 2

= + = = = 129 5

13 11 7 13 11 4

135 3

x

x x x x x

x

5 2

5 2 172 189  5 172

2 172 5 189

x

x x 

860 1289

2 1

4 điểm

b Ta có: y z x z x y x y z x y z         1 1 1 y z z x x y x y z       

  2 2 x y z y z z x x y x y z x y z            

1 1 1                  

x y z B y z x . . x y y z z x y z x    

. . 2.2.2 8 x y z x y z z y x      

Vậy B=8

0,5

0,5

0,5

0,5

a 2 1 2 0 2 3 x y x xz      

Áp dụng tính chất 0 A 

  2

1 1 0 0 2 2 2 2 0 0 3 3

0 0

x x

y y

x x z x xz

                              

1 2

2 3

1 2

x

y

z x

         Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2

0,25

1,5

0,25

2

4 điểm

b Ta có: = 2 2 3 2 3 2 n n n n      2 2 (3 3 ) (2 2 ) n n n n          2 2 3 3 1 2 2 1 n n    

= 10.(3n – 2n-1) 3 .10 2 .5   n n

Vì 10.(3n – 2n-1) chia hết cho 10 với mọi n nguyên dương Suy ra điều phải chứng minh.

0,75 0,5

0,5 0,25

ThuVienDeThi.com

3

4điểm

Gọi số trang người thứ nhất, người thứ 2, người thứ 3 đánh máy được theo thứ tự là x,y,z. Trong cùng một thời gian, số trang sách mỗi người đánh được tỉ lệ nghịch với thời gian cần thiết để đánh xong 1 trang; tức là số trang 3 người đánh tỉ lệ nghịch với 5; 4; 6.

Do đó ta có: . 1 1 1 : : : : 12:15:10 5 4 6 x y z  

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

555 15 12 15 10 12 15 10 37 x y z x y z          . 180; 225; 150 x y z     Vậy số trang sách của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba đánh được lần lượt là: 180, 225, 150.

0,5

1,0

0,75

0,75 0,75

0,25

4

6 điểm

a

b

c

(2 điểm) Xét và có : AMC  EMB  AM = EM (gt )

= (đối đỉnh ) AAMC AEMB BM = MC (gt ) Nên : = (c.g.c ) AMC  EMB  AC = EB  Vì = AMC  EMB  => Góc MAC bằng góc MEB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE). Suy ra AC // BE. (2 điểm) Xét và có : AMI  EMK  AM = EM (gt )

= ( vì ) AMAI AMEK AMC EMB   AI = EK (gt ) Nên ( c.g.c ). Suy ra = AMI EMK   AAMI AEMK Mà + = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) AAMI AIME + = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng AEMK AIME  (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( = 90o ) có = 50o AH AHBE = 90o - = 90o - 50o =40o AHBE  AHBE = - = 40o - 25o = 15o AHEM  AHEB AMEB là góc ngoài tại đỉnh M của ABME HEM  Nên = + = 15o + 90o = …