Đề & ĐA HSG Toán 7 huyện Hương Khê 2011-2012

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

phòng giáo dục đào tạo

hương khê

kú thi chän häc sinh giái huyÖn

Năm học 2011 - 2012 Môn toán LớP 7 Khóa ngày 17.18.19 – 4 – 2012 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1:

1) Tìm x, biết ; 2 1 3 x  

2) Tính giá trị của biểu thức sau: với

2 2 3 1 3 2 x x A x    

2 1 3 x  

Bài 2:

1) Tìm chữ số tận cùng của A biết A = 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n

2) Tìm các giá trị nguyên của x để nhận giá trị nguyên. 2 3   x x

Bài 3: Cho đa thức f(x) xác định với mọi x thỏa mãn:

x.f(x + 2) = (x2 – 9).f(x). 1) Tính f(5). 2) Chứng minh rằng f(x) có ít nhất 3 nghiệm.

Bài 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là đường thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đường thẳng AC dựng đoạn AF vuông góc với AC và AF = AC. Chứng minh rằng:

a) FB = EC b) EF = 2AM c) AM  EF.

Bài 5: Cho a, b, c, d là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A x a x b x c x d        

đề chính thức

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2011 - 2012

MÔN TOÁN LỚP 7 Khóa ngày 17.18.19 – 4 – 2012

Bài Hướng dẫn chấm Điểm

1) Ta có

2 5 1 2 3 3 1 2 1 3 1 3 3

x x x

x x

                   

4.0đ

1(6đ)

2) Từ câu 1) Với x = 5/3 thay vào A ta được A = 14/27

Với x = 1/3 thay vào A ta được A = -2/9 2.0đ

1) Chứng minh A chia hết cho 10 suy ra chữ số tận cùng của A là 0 1.5đ

2 (3đ)

2) Ta có:

  3 2 5 5 1 2 (5) 1; 5 2 2 2 1;3; 3;7

x x Z x U x x x x

              

1.5đ

3(4đ)

1) Ta có với x = 3  f(5) = 0 2) x = 0  f(0) = 0  x = 0 là một nghiệm

x = 3  f(5) = 0  x = 5 là một nghiệm x = -3  f(-1) = 0  x = -1 là một nghiệm Vậy f(x) có ít nhất là 3 nghiệm.

2.0đ

2.0đ

4 (6đ)

a) Chứng minh ( ) ABF AEC cgc FB EC     b) Trên tia đối của tia MA lấy K sao cho AK = 2AM. Ta có ABM = KCM  CK//AB A A A A A A 0 180 ACK CAB EAF CAB ACK EAF        EAF và KCA có AE = AB = CK; AF = AC (gt); A A ACK EAF  EAF = KCA (cgc) EF = AK = 2AM. c) Từ EAF = KCA

A A A A A A 0 90 CAK AFE AFE FAK CAK FAK AK EF         

3.0đ

1.5đ

1.5đ

5(1đ)

Không mất tính tổng quát, giả sử a  b  c  d. Áp dụng BĐT , a b a b   

dấu bằng xảy ra  ab ≥ 0 ta có:

(1) x a x d x a d x x a d x d a             

(2) x b x c x b c x x b c x c b             Suy ra A ≥ c + d – a – b. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi dấu “=” ở (1) và (2) xảy ra  (x – a)(d – x) ≥ 0 và (x – b)(c – x) ≥ 0  a  x  d và b  x  c. Do đó minA = c + d –a – b  b  x  c.

1.0đ

Ghi chú: Các cách giải khác đầy đủ và chính xác vẫn cho điểm tối đa.

A

M

F

E

B C

K

I

ThuVienDeThi.com