Đề thi chọn học sinh giỏi vòng huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN

NĂM HỌC: 2012 – 2013 Môn thi: TOÁN LỚP 8 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (3.5 điểm)

Cho biểu thức

2

2 2 1 3 x 1 A : 3 x 3x 27 3x x 3                 a) Rút gọn A. b) Tìm x để A < -1. c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên. Bài 2. (3.5 điểm)

a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a2 + b2 +c2 < 2(ab + bc + ca)

b) Giải phương trình: y y

y y y 3 1

2 1 9

6 3 10 3

1

2 2       Bài 3. (2 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

2 3x 6x 17 A x 2x 5      Bài 4. (3 điểm)

Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô cùng đi từ A đến B, khởi hành lần lượt lúc 7 giờ, 8 giờ, 9 giờ với vận tốc theo thứ tự bằng 10 km/h, 30 km/h, 50 km/h. Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy? Bài 5. (4.0 điểm)

Gọi M là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF.

a) Chứng minh rằng BE//MD, từ đó suy ra AE BC  . b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng ba điểm D, H, F thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định. Bài 6. (4.0 điểm) Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = a, µ o A 60  . Một đường thẳng bất kì đi qua C cắt tia đối của các tia BA và DA theo thứ tự tại M và N.

a) Chứng minh rằng tích BM.DN có giá trị không đổi. b) Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính số đo góc BKD.

-------------------- Hết ------------------

ĐỀCHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI

VÒNG HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013

MÔN: TOÁN LỚP 8 Bài Đáp án Điểm ĐK: x 0; x 3   0.25

2

2 2 1 3 x 1 A : 3 x 3x 27 3x x 3                

2 x(x 3) 9 x 3(3 x) : 3x(x 3) 3(3 x)(3 x)         0.5

2 x(x 3) 9 3(3 x)(3 x) A 3x(x 3) x 3(3 x)         

2

2 x 3x 9 3(x 3)(x 3) 3x(x 3) x 3x 9           0.5

1.a (1.5đ)

x 3 A x   0.25

Với x 0  , ta có: A < -1 x 3 1 x   0.25

 3 1 1 x   0.25

 3 0 x   0.25

1.b (1,0đ)

x 0  0.25

Ta có x 3 A x   = 3 1 x 

A nhận giá trị nguyên khi 3

x nhận giá trị nguyên 0.25

 x là ước của 3 0.25

1.c (1,0đ)

x 1; x 3   0.5 a, b, c là ba cạnh của một tam giác a < b+c, b < a+c, c < a+b 0.25 Suy ra: a2 < ab + ac 0.25 b2 < ab + bc 0.25 c2 < ac + bc 0.25 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên, ta có :

2.a (1,5đ)

a2+b2+c2 < ab+ac+ab+bc+ac+bc a2+b2+c2 < 2(ab + bc + ca) 0.5

Giải phương trình: y y

y y y 3 1

2 1 9

6 3 10 3

1

2 2       (1)

Phân tích: 3y2 – 10y + 3 = (3y – 1)(y-3) ; 9y2 – 1 = (3y – 1)(3y + 1)

ĐKXĐ: 1 y 3; y 3   0.5

(1) 

      1 6y 2 3y – 1 y 3 3y – 1 3y 1 3y 1      0.5

3y + 1 = 6y(y – 3) – 2(y - 3)(3y + 1) 0.5  y = 1 (TMĐK) 0.25

2.b (2.0đ)

Vậy tập nghiệm của phương trình là  S 1  0.25 3 (2.0đ)

2 2

2 2 3x 6x 17 3(x 2x 5) 2 A x 2x 5 x 2x 5            = 2

2 3 x 2x 5    0.5

PHÒNG GD – ĐT TRÀ CÚ

ThuVienDeThi.com

Bài Đáp án Điểm

A đạt GTLN  2

2 x 2x 5   lớn nhất x2 – 2x+5 nhỏ nhất 0.5

Ta có: x2 – 2x + 5 = (x - 1)2 + 4 4 0.5

Dấu “=” xảy ra khi x = 1, khi đó 1 A 32  0.25

3 (2.0đ)

Vậy 1 maxA 32  khi x = 1 0.25

Gọi x(h) là số giờ kể từ lúc ô tô khởi hành đến khi ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy (x > 0) 0.5

Quãng đường người đi xe đạp đi được: (x+2).10 (km) 0.25 Quãng đường ô tô đi được: 50x (km) 0.25 Quãng đường người đi xe máy đi được: (x+1).30 (km) 0.25 Ta có phương trình: 50x - (x+2).10 = (x+1).30 – 50x 0.5

Giải ra: 5 x 6  (TMĐK) 0.5

Sau khi khởi hành 5

6 giờ (= 50’) thì ô tô cách đều xe đạp và xe máy 0.25

4 (3.0đ)

Vậy đến 9 h 50’ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy 0.5 Xét tam giác ABC có:  CMAB (Do AMCD là hv) (1) 0.25 · · o AMD MBE 45   (t/c đ.chéo hv) BE//MD 0.25 BE AC  (Do MDAC) (2) 0.25 Từ (1), (2) E là trực tâm ABC

5.a (1.0đ)

F

E

M B

D C

A

AEBC 0.25 Gọi O là giao điểm của AC và DM

Do · o AHC 90  (cm a) nên AC OH 2  0.25

 DM OH 2  0.25

A

C D

B …