Đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:

a) x2 – 4x + 4 = 25

b) 4 1004

1 x 1986

21 x 1990

17 x      

c) 4x – 12.2x + 32 = 0

Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0 z 1 y 1 x 1    .

Tính giá trị của biểu thức: xy 2 z

xy xz 2 y

xz yz 2 x

yz A 2 2 2      

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực

tâm. a) Tính tổng ' CC

' HC ' BB

' HB ' AA

' HA  

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.

c) Chứng minh rằng: 4 ' CC ' BB ' AA

) CA BC AB (

2 2 2

2

  

  .

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

• Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )

b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm ) 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm ) (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm )  2x = 23 hoặc 2x = 22  x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )

ThuVienDeThi.com

• Bài 2(1,5 điểm):

0 z 1 y 1 x 1    0 xz yz xy 0 xyz

xz yz xy         yz = –xy–xz (

0,25điểm ) x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )

Do đó: ) y z )( x z(

xy )z y )( x y (

xz )z x )( y x (

yz A          (

0,25điểm )

Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )

• Bài 3(1,5 điểm):

Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d N, 0 9 0    a, d ,c,b ,a (0,25điểm)

Ta có:

2 k abcd

2 m )3 d )( 5 c )( 3 b )( 1 a(     

2 k abcd

2 m 1353 abcd   (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353  (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 k = 56 k = 4 (0,25điểm)

Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm)

với k, mN, 100 m k 31    (0,25điểm)







hoặc

hoặc

ThuVienDeThi.com

• Bài 4 (4 điểm):

Vẽ hình đúng (0,25điểm)

a) ' AA

' HA

BC '. AA . 2 1

BC '. HA . 2 1

S S

ABC

HBC   ;

(0,25điểm)

Tương tự: ' CC

' HC S S

ABC

HAB  ; ' BB

' HB S S

ABC

HAC 

(0,25điểm)

1 S S S S S S ' CC

' HC ' BB

' HB ' AA

' HA

ABC

HAC

ABC

HAB

ABC

HBC      

(0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:

AI IC MA CM ; BI AI NB AN ; AC AB IC BI   

(0,5điểm )

AM . IC . BN CM . AN . BI

1 BI IC . AC AB AI IC . BI AI . AC AB MA CM . NB AN . IC BI

 

  

c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm)

-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) - BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2  AB2 + AD2  (BC+CD)2 (0,25điểm) AB2 + 4CC’2  (BC+AC)2 4CC’2  (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2  (AB+AC)2 – BC2 4BB’2  (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm)

(0,5điểm ) (0,5điểm )

B

A

C I

B’ H N

x

A’

C’

M

D

B

A

C I

B’ H N

x

A’

C’

M

D

ThuVienDeThi.com