Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD & ĐT Tứ Nghĩa

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 TƯ NGHĨA NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi : TOÁN Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề ) Ngày thi : 20 / 4 / 2017 Bài 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức :

3 2

3 2 2x 7x 12x 45 A 3x 19x 33x 9       

a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của x để A > 0. c) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Bài 2: (3,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) P = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 b) Q = 2017(x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1) Bài 3: (5,0 điểm)

a) Giải phương trình: 2 2 2 1 1 1 1 x 7x 12 x 9x 20 x 11x 30 18         

b) Tìm các số x, y, z biết: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2017 + y2017 + z2017 = 91009

c) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:

2

2 x x 1 B x x 1     

Bài 4: (6 điểm) Cho ABC vuông tại A. Lấy một điểm D bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BD tại E và cắt BA tại M.

a) Chứng minh: MA.MB = ME.MC và MAE MCB 

b) Cho 0 BDC 120  và SAME = 45 cm2. Tính SBMC c) Chứng minh 2017BD.BE + 2018CD.CA = 2017BC2+CD.CA Bài 5: (2 điểm) Cho biểu thức E = (x2017 + y2017 + x2017) – (x2013 + y2013 + z2013), với x, y, z là các số nguyên dương. Chứng minh rằng E chia hết cho 30.

======= Hết =======

ThuVienDeThi.com

(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: ................................................................Số báo danh: ..................

BÀI GIẢI: Bài 1:

a) Rút gọn biểu thức

3 2

3 2 2x 7x 12x 45 A 3x 19x 33x 9       

Ta có: 2x3 – 7x2 – 12x + 45 = 2x3 – 12x2 + 18x + 5x2 – 30x + 45 = 2x(x2 – 6x + 9) + 5(x2 – 6x + 9) = (2x + 5)(x – 3)2 và: 3x3 – 19x2 + 33x – 9 = 3x3 – 18x2 + 27x – x2 + 6x – 9 = 3x(x2 – 6x + 9) – (x2 – 6x + 9) = (3x – 1)(x – 3)2



2

2 (2x 5)(x 3) 2x 5 A 3x 1 (3x 1)(x 3)        

b) Tìm giá trị của x để A > 0:

Để A > 0  2x 5 0 3x 1    . Lập bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu:

A > 0  5 x 2  hoặc 1 x 3 

c) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên:

A  Z  3A  Z  6x 15 2(3x 1) 17 17 3A 2 3x 1 3x 1 3x 1          

Để 3A  Z thì 17

3x 1   Z hay 3x – 1 là ước của 17  3x – 1 = { 1;  17}

+ Với 3x – 1 = – 1 3x = 0  x = 0  Z khi đó A = – 5  Z (thỏa)

+ Với 3x – 1 = 1 3x = 2  x = 2

3  Z (loại)

+ Với 3x – 1 = – 17 3x = – 16  x = 16

3   Z (loại)

+ Với 3x – 1 = 17  3x = 18  x = 6  Z khi đó A = 1  Z (thỏa) Vậy với x = 0 hoặc x = 6 thì A nhận giá trị nguyên. Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) P = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 = (x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) – 24

x

5 2 

1 3

2x + 5 – || + || +

3x – 1 – 0 – || +

ThuVienDeThi.com

= (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) – 24. Đặt t = x2 + 7x + 11 Thì P = (t +1)(t – 1) – 24 = t2 – 1 – 24 = t2 – 25 = (t – 5)(t + 5) Do đó P = (x2 + 7x + 11 – 5)(x2 + 7x + 11 + 5) = (x2 + 7x + 6)(x2 + 7x + 16) Mặt khác x2 + 7x + 6 = x2 + x + 6x + 6 = x(x + 1) + 6(x + 1) = (x + 1)(x + 6)

 P = (x + 1)(x + 6)(x2 + 7x + 16) b) Q =2017( x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1) = 2017(x4 + 9x2 + 1 + 6x3 – 2x2 – 6x) = 2017[(x2)2 + (3x)2 + 12 + 2.x2.3x – 2.x2.1 – 2.3x.1] =2017 (x2 + 3x – 1)2 Bài 3:

a) Giải phương trình: 2 2 2 1 1 1 1 x 7x 12 x 9x 20 x 11x 30 18          (1)

Ta có: x2 + 7x + 12 = x2 + 3x + 4x + 12 = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x + 4) x2 + 9x + 20 = x2 + 4x + 5x + 20 = x(x + 4) + 5(x + 4) = (x + 4)(x + 5) x2 + 11x + 30 = x2 + 5x + 6x + 30 = x(x + 5) + 6(x + 5) = (x + 5)(x + 6) ĐKXĐ: x  – 3; x  – 4; x  – 5; x  – 6

(1)  1 1 1 1 (x 3)(x 4) (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) 18         

 1 1 1 1 1 1 1 x 3 x 4 x 4 x 5 x 5 x 6 18            

 1 1 1 18(x 6) 18(x 3) (x 3)(x 6) x 3 x 6 18           

 18x + 108 – 18x – 54 = x2 + 9x + 18  x2 + 9x – 36 = 0  x2 + 12x – 3x – 36 = 0  x(x + 12) – 3(x + 12) = 0  (x + 12)(x – 3) = 0  x = 3 hoặc x = – 12 b) Tìm các số x, y, z biết: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2017 + y2017 + z2017 = 91009 Ta có x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx  2x2 + 2y2 + 2z2 = 2xy + 2yz + 2zx

 (x – …