Đề thi giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD & ĐT Tam Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Năm học: 2012-2013

Môn: Toán 8 Thời gian làm bài 120 phút

Đề thi này gồm 01 trang.

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay

Câu 1: (2,5 điểm )

a) Phân tích đa thức

2 2 2 ( ) ( ) ( ) a b c b c a c a b      thành nhân tử.

b) Cho các số nguyên , , a b c thoả mãn 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 210 a b b c c a       . Tính giá trị của biểu thức A a b b c c a       .

Câu 2: (2,5 điểm)

a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 3 . x y xy   

b) Giải phương trình: 2 (6 8)(6 6)(6 7) 72 x x x     .

Câu 3: (2,5 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 ( 2012) ( 2013) P x x     .

b) Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn 3 x y z   . Chứng minh rằng:

2 2 2 1 1 1 3 2 x x y y z z       .

Câu 4: (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.

a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC.

b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi.

c) KẻDH BC    H BC  . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ PD  .

====== HẾT ====== Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ tên thí sinh……………………………………………………SBD…………………

ĐỀ CHÍNH Ứ

ThuVienDeThi.com

Ghi chú :

- Hư ớng dẫn chấ m chỉ trìn h bày nhữ ng ý cơ bản , nếu học sin h có các h giải khá c mà đún g thì Giá m khả o vẫn cho điể m như ng khô ng vượ t quá tha ng

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG

H ƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8

NĂM HỌC 2012-2013 HDC này gồm 2 trang

Câu Nội dung chính Điểm a) Ta có

2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c b c a c a b a b c b c a c b c c a           

2 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) b c a c c a b c b c a c a c c a b c b c              

( )( )( ) ( )( )( ) b c a c a c b c b c a c a b          .

0,5

0,5 0,25 1 (2,5đ) b) Đặt ; a b x   b c y   ; c a z    0 x y z    ( ) z x y    Ta có: 3 3 3 3 3 3 210 ( ) 210 3 ( ) 210 x y z x y x y xy x y           

70 xyz   . Do , , x y z là số nguyên có tổng bằng 0 và 70 ( 2).( 5).7 xyz    nên

  , , 2; 5;7 x y z    14. A a b b c c a       

0,25

0,5

0,5

a) 2 2 3 x y xy    Ta có: 2 2 2 ( ) 0 2 3 2 1 x y x y xy xy xy xy           Lại có: 2 2 2 ( ) 0 2 3 2 3. x y x y xy xy xy xy           Suy ra 3 1 xy  . Mà   , 3; 2; 1;0;1 x y Z xy      Lần lượt thử ta được   ( , ) ( 2;1);(1; 2);(2; 1);( 1;2);(1;1) x y      là nghiệm của phương trình.

0,25

0,5 0,5

2 (2,5đ) b) 2 (6 8)(6 6)(6 7) 72 x x x     Đặt 6 7 . x t   Ta có 2 2 2 4 2 ( 1)( 1) 72 ( 1) 72 72 0 t t t t t t t          

4 2 2 2 2 2 2 2 9 8 72 0 ( 9) 8( 9) 0 ( 9)( 8) 0 t t t t t t t t              

Mà 2 8 0 t   nên 2 2 2 9 0 9 3 3 t t t x       hoặc 5. 3 x 

PT có nghiệm là 2 5 ; 3 3 x        .

0,5 0,5

0,25

a) Ta có:

2 2 2 2 ( 2012) ( 2013) 4024 4048144 4026 4052169 P x x x x x x          

2 2 1 2 2 8100313 2 2 x x x            

8100312,5 8100312,5 x 

Vậy Min 8100312,5 P  1 . 2 x  

0,5

0,5

0,25

3 (2,5đ)

b) Đặt 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) P x x y y z z x x y y z z            

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x y y z z x y z x y z                              

Áp dụng BĐT 1 1 1 9 a b c a b c      và 1 1 1 1 . 4 a b a b          với , , a b c dương,

dấu bằng xảy ra . a b c   

Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 ; . 1 ; . 1 1 4 1 4 1 4 x x y y z z                            Bởi vậy

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1 4 P x y z x y z x y z x y z                                        

0,25

0,25

0,5

ThuVienDeThi.com