Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Đại số Lớp 8

**. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. A= (a + b)2 + c  c => MinA = c  a +b = 0 .... B = -(a + b)2 + c  c => MaxB = c  a +b = 0 .... -A lớn nhất  A nhỏ nhất

1

B lớn nhất  B nhỏ nhất với B > 0

A B A+B  

2. Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm: cho n số không âm 1 2 , ,...., n x x x

Ta có: 1 2 1 2 ... . ... n n n x x x n x x x    

Dấu bằng xảy ra 1 2 ... n x x x     .

3. Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho hai bộ     1 2 1 2 , ,..., , ,..., n n x x x y y y 

Ta có:      2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 . . ... . ... ... n n n n x y x y x y x x x y y y          

Dấu bằng xảy ra 1 2

1 2

... n

n

x x x y y y     .

4. Bất đẳng thức Svac-sơ:

 

2 2 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

... ... ...

n n

n n

x x x x x x y y y y y y          

với   1 2 3 , , ,... 0, 2 n y y y y n  

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 1 2

1 2

... . n

n

x x x y y y   

* Biểu thức là một phân thức : a/ Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:

Ví dụ : Tìm GTNN của A = 2 9 5 6

2

x x   .

Giải : A = 2 9 5 6

2

x x   . = 5 6 9

2

2  



x x = 4 )1 3 (

2

2  

 x .

Ta thấy (3x – 1)2  0 nên (3x – 1) 2 +4  4 do đó 2 1 (3 1) 4 x    4

1 theo tính chất a  b thì

a 1  b

1 với a, b cùng dấu). Do đó 4 )1 3 (

2

2  

 x 4

2   A  - 2

1

minA = - 2

1  3x – 1 = 0  x = 3

1 .

I. TÌM GTNN , GTLN CỦA BIỂU THỨC CHỨA MỘT BIẾN

Bất đẳng thức Cô si: a + b  2 ab ; a2 + b2  2ab ; (a + b)2 4ab ; 2( a2 + b2)  ( a+ b)2

Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a2 + b2) ( c2 + d2)  (ac + bd)2

Phần A: Giá trị nhỏ nhất- Giá trị lớn nhất.

ThuVienDeThi.com

Bài tập áp dụng:

1. Tìm GTLN của BT : 2

1 A x 4x 9    HD giải:

 

2 2

1 1 1 1 A . max A= x 2 x 4x 9 5 5 x 2 5        

.

2. Tìm GTLN của BT : 2

1 A x 6x 17    HD Giải:

 

2 2

1 1 1 1 A . max A= x 3 x 6x 17 8 8 x 3 8        

3. (51/217) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

3 A

2 x 2x 7 

    b/ Phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức.

Ví dụ : Tìm GTNN của A = 1 2

6 8 3

2

2

 

 

x x

x x .

Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm

A =    2 2

2 2 2 1 4 4

2 1

x x x x

x x

    

  = 2 + 2

2

)1 (

) 2 (

  x x  2

minA = 2 khi và chi khi x = 2. Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có :

A =

   

2 2 2

2 2 2 3( 1) 8( 1) 6 3 6 3 8 8 6 3 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1

y y y y y y y y y y y y y

                  

= 3 - y

2 + 2 1 y = ( y

1 -1)2 + 2

minA = 2  y = 1  x – 1 = 1  x = 2 Bài tập áp dụng:

1, Tìm GTNN và GTLN của bt:

2

2

1 P 1 x x x     2, Tìm GTNN của bt :

2

2 2 2006 B x x

x   

3, Tìm GTNN và GTLN của bt:

2

2 C 5 7 x x x    4, Tìm GTNN của bt : a,

2

2

2 2 D 2 3 x x x x     

c/ Các phân thức dạng khác:

Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN của A = 1 4 3

2   x

x

Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số :

A = 1

1 4 4

2

2 2



   

x

x x x = 1

) 2 (

2

2

  x x - 1  -1

Min A= -1 khi và chỉ khi x = 2

Tìm GTLN A = 1

1 4 4 4 4

2

2 2



   

x

x x x = 4 - 1

)1 2 (

2

2

  x

x  4

Bài tập áp dụng: 1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN của bt: a, 2 A 2 x x   b,

 

2

3 2 B

2

x

x 



2, (35, 36 / 221) Tìm GTNN của bt: a,

2 4 4 C x x x    Với x > 0; b,

5

3

2 D x

x

  Với x > 0

Ví dụ : Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1

sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2 Đến đây ta có nhiều cách giải Cách 1: sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức có chứa A

II. TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN

ThuVienDeThi.com