Đề và đáp án thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán lớp 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD & ĐT Nghi Lộc

(ĐỀ CHÍNH THỨC)

Câu 1 (6,0 điểm). Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P

b) Tìm x để

c) Xác định các giá trị dương của x để biểu thức nhận giá trị nguyên

Câu 2 (4,0 điểm). Cho phương trình sau (ẩn x): a) Xác định m để phương trình có 1 nghiệm

b) Với giá trị m vừa tìm được. Tìm các nghiệm còn lại của phương trình.

Câu 3 (4,0 điểm). a) Chứng minh rằng không tồn tại 3 số dương a, b, c đôi một khác nhau

thỏa mãn:

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì

là số chính phương.

Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, điểm D di động trên tia đối của tia BA sao cho , nối C với D, vẽ tia Ax nằm trong góc BAC, sao cho , gọi M là giao điểm của tia Ax và CD a) Chứng minh:

b) Chứng minh:

c) Gọi Q là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng khi D di động trên tia đối của tia BA sao cho thì DQ luôn đi qua một điểm cố định.

.…………Hết…………

Họ và tên thí sinh:………………………………. Số báo danh:.........................................

\

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHI LỘC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 90 phút - không kể thời gian phát đề

2 2 2

3 2 2 2 1 2( 1) . 1 1 1 x x x x P x x x x x x                 

2 P x 

7 P

3 2 2 ( 7) 3( 2) 0 x m m x m m        2 x 

0 a b c b c c a a b      

4 ( )( 2 )( 3 )( 4 ) A x y x y x y x y y      

· 0 60 BCD  · · BAx BCD 

. . DB DA DM DC  1 1 4 MB MC AM  

· · DAM BCD 

ThuVienDeThi.com

Câu Ý Nội dung Điểm

ĐK:

1,0

1,0 a

Vậy

1,0

Ta tìm x thỏa mãn 1,0

b

. Đối chiếu điều kiện, ta chỉ lấy 1,0

Với

0,25

Mặt khác . Do nên

hay

0,25

Từ (1) và (2) ta suy ra để M nguyên ta lấy M = 1 0,25

1

c

Khi M = 1 thì

. Vậy khi thì nguyên

0,25

Ta thay vào phương trình: 1,0

2 a

hay . Vậy khi thì phương trình có 1 1,0

2 2 2

3 2 2 2 1 2( 1) . 1 1 1 x x x x P x x x x x x                 

2 0 0 1 x x x x

     

2 2 2

3 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 1 2( 1) . 1 1 1 ( 1)

2 1 2( 1) . ( 1)( 1) 1 1 ( 1)

2 1 2( 1) 2x 1 2( 1) . . ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1)

x x x x P x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

                                                         

2 2 2 2

2 ( 1) 2( 1) 2( 1) . ( 1)( 1) ( 1) x x x x x x x x x x x           

2 2( 1) x x P x   

2

2 2( 1) 2 2( 1) 2 x x x x x x       

2 0 0 ( 1) 0 1 x x x x x x

         

0 x 

2 7 7 2( 1) x M P x x    

2

7 0 0 0 (1) 2( 1) x x M x x       

2

7 7

1 2( 1) 2( 1)

x M x x x x

     

0 x 

1 1 2 1 3 x x x x      7 7 7 2 (2) 1 6 6 2( 1)

M x x

     

0 2 M  

2 2 2

7 1 7x 2x 2x 2 2x 5x 2 0 2( 1) x x x           1 2, 2 x x    1 2, 2 x x   7 P 2 x 

2 2 8 2( 7) 3( 2) 0 m m m m       

2 12 0 m m     4

3 m m

    

4

3 m m

    

ThuVienDeThi.com

nghiệm Với , thay vào phương trình ta được 1

0,5

b Với thay vào phương trình ta được

giống như trường hợp trên ta thu được các nghiệm là

0,5

Theo bài ra ta có: 0,5

, tương tự ta cũng có: 0,5

0,5 a

cộng vế với vế ta được:

nếu thì . Do đó không tồn tại 3 số

dương a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn (*)

0,5

Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì

là số chính phương. Ta có

1,0

Đặt: . Vậy

0,5

3

b

nên

Vậy A là số chính phương. 0,5

4 a

vẽ hình đúng cho 0,5 0,5

2,5

2 x 

4 m 

3 2 2 3 (4 4 7) 3(4 4 2) 0 19x 30 0 x x x           

2

2 ( 2)( 2 15) 0 ( 2)( 3)( 5) 0 3 5

x x x x x x x x x

                 3, m 

3 2 2 3 (3 3 7) 3(3 3 2) 0 19x 30 0 x x x           

2

3

5

x

x

x

     

2 2

( )( ) a b c ab b c ac b c c a a b c a a b              

2 2

2 ( ) ( )( )( ) a ab b c ac b c c a a b b c          

2 2 2 2

2 2 ; ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) b ab c a bc c cb a b ac a c c a a b b c b a c a a b b c                

2 2 2 0 (*) ( …