Đề và đáp án thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8

ĐỀ I: Câu 1. a) Rút gọn phân thức:

b) Cho biểu thức , với a, b, c là

các số nguyên dương. Chứng minh A chia hết cho 30. Câu 2. a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là một số chính phương.

b) Cho x, y, z đôi một khác nhau và .

Tính giá trị của biểu thức:

Câu 3. a) Cho phương trình: . Tìm m để phương trình có nghiệm

dương. b) Tìm x, y, z biết : Câu 4. Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF

a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Câu 5. Cho tam giác ABC cân tại A có  BAC = 400 . Điểm M nằm trong tam giác sao cho  MBC = 400 ,  MCB = 200 . Tính góc  MAB ĐỀ II: Bài 1:1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) b) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24

2) Tìm số tự nhiên n để M = là một số chính phương Bài 2:

1) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

2) Giải phương trình: Bài 3: Cho hình vuông ABCD trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho góc MAN = 450. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AM, AN với BD.

1) Chứng minh đồng dạng với

2) Chứng minh NE AM.

3) Gọi H là giao điểm của NE và MF, AH cắt NM tại P. Chứng minh AM là phân giác của góc BAP. Bài 4:

Cho tam giác ABC vuông tại B (AB = 2BC). Lấy điểm D thuộc cạnh AC sao cho BC = CD, điểm E thuộc cạnh AB sao cho AD = AE.

Chứng minh rằng:

     

3 3 3

2 2 2 3 a b c a b c

a b a c b c

  

        2015 2015 2015 2011 2011 2011 A a b c a b c      

0 z 1 y 1 x 1   

xy 2 z

xy xz 2 y

xz yz 2 x

yz A 2 2 2      

2 1 3 2 2 x m x x x      

0 10 8 2 2 4 2 2 4 2 2 2         z y yz xy z y x



4 4 x 

5 2 n n  

2 2 2 1 2 a b c  

2 3 4 21 18 7 9 x x x x    

AEB  FEM 



2 AD =AB.AE

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM

Ta thấy là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, 3 và 5 mà (2; 3; 5) = 1 nên tích của chúng chia hết 30 Mà có tích 3 số nguyên liên

tiếp nên chia hết cho 3. hay chia hết cho 30.

Đặt n2 – 14n – 256 = k2 (k  )  (n – 7)2 – k2 = 305  (n – 7 – k)(n – 7 + k) = 305 Mà 305 = 305.1 = (–305).( –1) = 5.61 = (–5).( –61) và (n – 7 – k) ≤ (n – 7 + k) nên xét các trường hợp:

     

     

      

 

    

 

2 2 2

3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

0

3 3 3

2

3

2

2 3

2

a b c ab bc ca

a b c ab a b abc a b c abc

a b c ab bc ca a b a c b c

a b c a b a b c c ab a b c

a b c ab bc ca

a b c a ab b ac bc c ab

a b c ab bc ca

a b c a b c ab bc

     

        

         

             

    

        

    

            2 2 2 2 2

ca a b c a b c ab bc ca

       

    

       

2015 2011 2011 4 2011 2 2

2010 2010 1 1 4 5

2 1 1 2 5 1 1

A a a a a a a a

a a a a a a a a a a

                         2 1 1 2 a a a a a    

  

2010 5 1 1 a a a a      1 1 a a a  

  

2010 5 1 1 a a a a   ¥

ThuVienDeThi.com