Đề thi học sinh giỏi cấp trường Toán lớp 8 - Trường THCS Lê Bình

TRƯỜNG THCS LÊ BÌNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài : 90 phút Bài 1:a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) b) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24

b) Tìm số tự nhiên n để M = là một số chính phương

Bài 2: a) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

b) Giải phương trình: Bài 3: Cho hình vuông ABCD trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho góc MAN = 450. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AM, AN với BD.

a) Chứng minh đồng dạng với

b) Chứng minh NE AM.

c) Gọi H là giao điểm của NE và MF, AH cắt NM tại P. Chứng minh AM là phân giác của góc BAP. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại B (AB = 2BC). Lấy điểm D thuộc cạnh AC sao cho BC = CD, điểm E thuộc cạnh AB sao cho AD = AE.

Chứng minh rằng:

…………………………………………………………………………………

4 4 x 

5 2 n n  

2 2 2 1 2 a b c  

2 3 4 21 18 7 9 x x x x    

AEB  FEM 



2 AD =AB.AE

ThuVienDeThi.com

TRƯỜNG THCS LÊ BÌNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài : 90 phút Bài 1:a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) b) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24

b) Tìm số tự nhiên n để M = là một số chính phương

Bài 2: a) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

b) Giải phương trình: Bài 3: Cho hình vuông ABCD trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho góc MAN = 450. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AM, AN với BD.

a) Chứng minh đồng dạng với

b) Chứng minh NE AM.

c) Gọi H là giao điểm của NE và MF, AH cắt NM tại P. Chứng minh AM là phân giác của góc BAP. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại B (AB = 2BC). Lấy điểm D thuộc cạnh AC sao cho BC = CD, điểm E thuộc cạnh AB sao cho AD = AE.

Chứng minh rằng:

SƠ LƯỢC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8

Bài 1. (6,5đ)

1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử (4đ):

a) = 1,0đ = 1,0đ b) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 = 0,5đ = 0,5đ = 0,5đ = 0,5đ 2) Tìm số tự nhiên n để M = là một số chính phương (2,5đ) = = 0,5đ = 0,5đ = 0,5đ = + 0,5đ Mà 5 và 5 Vậy biểu thức M chia 5 dư 2, do đó M có số tạn cùng là 2 hoặc 7 nên M không là số chính phương. Vậy không có số tự nhiên n nào để M là một số chính phương 0,5đ

Bài 2. (6,5đ)

1)Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên: a + b - c > 0 0,5đ

Đặt a = x + ; b = y + ; 0,5đ

4 4 x 

5 2 n n  

2 2 2 1 2 a b c  

2 3 4 21 18 7 9 x x x x    

AEB  FEM 



2 AD =AB.AE

4 4 x 

4 2 2 4 4 4 x x x   

2 2 ( 2 2 )( 2 2 ) x x x x    

2 2 ( 7 11 1)( 7 11 1) 24 x x x x       

2 2 [( 7 11) 1] 24 x x    

2 5 ( 7 11) 25 x x   

2 ( 1)( 6)( 7 16) x x x x    

5 2 n n  

5 2 n n   4 ( 1) 2 n n  

2 ( 1)( 1)( 1) 2 n n n n    

2 ( 1)( 1)[( 4) 5] 2 n n n n      ( 1)( 1)( 2)( 2) n n n n n     5 ( 1)( 1) 2 n n n    ( 1)( 1)( 2)( 2) n n n n n      5 ( 1)( 1) n n n   

2 2 2 1 2 a b c  

2 c

2 c

ThuVienDeThi.com

Khi đó ta có = x2 + cx + y2 + cy + c 1,0đ

= + +c (x+y) + > vì: > 0; > 0; c (x+y) > 0 1,0đ

2) Giải phương trình sau x4-7x3+18x2-21x+9=0 (1) xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình (1)

chia hai vế của (1) cho x2 ta được 1,0đ

Đặt ta được phương trình t2-7t+12=0 0,5đ

t=3 hoặc t=4 1,0đ

+) t=3 Vô nghiệm 0,5đ

+) t=4 x=1 hoặc x=3 0,5đ

Bài 3. (6,0đ)Cho hình vuông ABCD trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho góc MAN = 450. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AM, AN với BD. 1) Chứng minh đồng dạng với

2) Chứng minh NE AM.

3) Gọi H là giao điểm của NE và MF, AH cắt NM tại P. Chứng minh AM là phân giác của

góc BAP.

HD: a) Ta có

1) 2,0đ

2) 1,0đ

1,0đ 3) Cmtt như câu 2) ta có : (2) và MF AN H chính là trực tâm của tam giác MAN. 1,0đ

mà (3) 0,5đ Từ (2) và (3). Hay AM là tia phân giác của góc BAP. 0,5đ Bài 4 (1,0đ)Cho tam giác ABC vuông tại B (AB = 2BC) Lấy điểm D thuộc cạnh AC sao cho BC = CD, điểm E thuộc cạnh AB sao cho AD = AE Chứng minh rằng: HD: Đặt BC= a, Khi đó theo Pitago: AC = a (1) Nếu đẳng thức thỏa mãn AD = AB = AE (vìAD=AE gt) E B 0,5đ Nên AC = AD + DC = AB + BC = 3a (2) Từ (1) và (2) …