Đề thi học sinh giỏi năm học 2006 2007 môn Toán lớp 8

đề thi học sinh giỏi năm học 2006 – 2007

Môn : toán. Lớp 8 Thời gian : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề )

Câu 1 ( 2 điểm ) : Chứng minh rằng :

1- n n n n n 2

1 ...... 2 1 1 1 2

1 1 2

1 ...... 4 1 3 1 2 1           

Câu 2 ( 2 điểm ) : Chứng minh rằng nếu a + b + c = ab + bc + ca thì 2 2 2

a = b = c Câu 3 ( 2 điểm ) : phân tích thành nhân tử A = a + b + c – 3abc 3 3 3

Câu 4 ( 2 điểm ) : Hai chiếc xe máy cùng khởi hành một lúc tư hai địa điểm A và B. Xe thứ nhất đi từ A đến B rồi quay lại A ngay, xe thứ hai đi từ B đến A rồi củng quay lại B ngay. Hai xe gặp nhau lần thứ hai tại điểm C cách A là 10km.

Tính quảng đường AB biết rằng vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ hai tỉ lệ với . 5 6

Câu 5 ( 2 điểm ) : Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm của hai đường chéo. Một đường thẳng đi qua O và song song với hai đáy, cắt AD ë E và cắt BC ë F. Chứng minh OE = OF.

ThuVienDeThi.com

Đáp án và biểu điểm

Môn : toán 8

Câu 1 : 2 điểm

Xét vÕ phải, ta thấy có tổng của n số nghịch đảo từ đến , đó chính là 1 1

 n n 2

1

hiệu giữa tổng của 2n số nghịch đảo đầu tiên và tổng của n số nghịch đảo đầu tiên.

Nếu đặt : S n n

1 ......... 3 1 2 1 1     

S (0,5 điểm) n n 2

1 .... .......... 3 1 2 1 1 2     

thì vÕ phải chính là S - S ( 0,5 điểm) n 2 n Còn vÕ trái khi đó là :

(0,5 điểm) ) 2

1 ...... 4 1 2 1 ( 2 2

1 1 2

1 ..... .......... 4 1 3 1 2 1 1 2 n S n n

n            

= S - ( ) n 2 n 1 ......... 3 1 2 1 1    

= S - S ( 0,5 điểm) n 2 n Vậy đẳng thức được chứng minh. Câu 2 : 2 điểm Theo giả thiết, ta có : a2+b2+c2 – ab – bc – ca = 0 (0,25 điểm) Nhân 2 vÕ với 2 và nhóm các số hạng lại ta được : (a2 – 2ab + b2) + (b2 – 2bc + c2) + (c2 – 2ca + a2) = 0 hay (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 ( 1 điểm) VÕ trái là tổng của 3 số bình phương chỉ bằng 0 khi từng hạng tử bằng 0 tức là a = b = c (đpcm) (0,75 điểm) Câu 3 : 2 điểm Dùng hằng đẳng thức a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b), ta có: a + b + c – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc 3 3 3 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) Câu 4 : 2 điểm

A 10km C B

Gọi quảng đường AB là x (km) Đk: x>10 Đặt thời gian kể từ lúc hai xe xuất phát đến lúc 2 xe gặp nhau lần thứ 2 là t(giờ). Vận tốc xe thứ nhất là v , xe thứ 2 là v

1

2 Khi 2 xe gặp nhau lần thứ hai thì : + Xe thứ nhất đi được quảng đường là x + x – 10 = 2x – 10 (km) + Xe thứ hai đi được quảng đường là x + 10 (km)

ThuVienDeThi.com

Ta có : v =

1

) / ( 10 2 h km t x 

v = 2 ) / ( 10 h km t x 

Theo bài ra ta có :

5 6 10

10 2 5 6 10

10 2

 

  



x

x hay

t x

t x

hay 4x = 110 => x = 27,5 Câu 5 : 2 điểm

D C

E F O

A B

Xét AOB và đ/t CD//AB , ta có :

OA OC OB OD 

áp dụng t/c của đẳng thức tỉ lệ :

(1) CA OC DB OD OC OA

OC OD OB

OD      áp dụng hệ quả của định lý Talét vào các ADC và ACB ta có

Trong ADC thì OE//AB => (2) DB OD AB OE 

Trong ACB thì OF//AB => (3) CA OC AB OF 

Từ (1), (2), (3) => . OF OE AB OF AB OE   

ThuVienDeThi.com