Đề thi học sinh giỏi năm học 2015 2016 lần 5 môn Toán lớp 8

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 – 2016 LẦN 5

MÔN: TOÁN LỚP 8 ( Thời gian làm bài 150 phút ) Câu 1: (3đ).

a). Giả sử và , biết rằn : Tìm y nếu : 1 y  0 y  1 2 1 2 3 1 2

1 1 1; ; ;.... 1 1 1 x x y x x x y x x         

1986 3 x 

b). Rút gọn biểu thức  

2 2 2

2 2 2 3 . 1 1 1 1 1 y yz z x y z A x y z x y z

y z yz xy xz

                         câu 2:(5đ). a). Phân tích đa thức C = ( x – 2)( x – 4)( x – 6)( x – 8) + 15 thành nhân tử. b). Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì : a5 – 5a3 + 4a 120.  câu 3:(3đ).

a). Cho và . Hãy tính z theo y.

2 4 2 4

2 4 2 4

1 1

; 1 1

x x x x y z x x x x

     

1 x 

b).Cho xy + xz + yz = 1 và x,y,z khác . Chứng minh rằng: 1 

.     2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 1 x y z xyz x y z x y z         

Câu 4:(4đ).

a). Cho và b + c - a 0; bc 0; a + b + c 0.      

2 2 2

; 2

a b c a c b b c a x y bc a b c b c a

            

Tính giá trị của biểu thức P = (x + y + xy + 1 )3. b). Chứng minh rằng nếu a,b,c khác nhau thì :

      

2 2 2 b c c a a b a b a c b c b a c a c b a b b c c a                  Câu 5:(5đ). a). Cho tam giác đều ABC, trọng tâm G. O là một điểm thuộc miền trong của tam giác và O khác G. Đường thẳng OG cắt các đường thẳng BC, BA và AC theo thứ tự ở

A’,B’,C’.Chứng minh rằng:

' ' '

' ' ' 3 OA OB OC GA GB GC   

b). Từ một điểm P thuộc miền trong của của tam giác đều ABC. Hạ các đường vuông góc

PD, PE và PF xuống các cạnh BC, CA và AB. Tính PD PE PF BD CE AF    

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN Câu 1 4điểm

a). 1 2

1

1 1 1 2 2 1 1 : 1 : 1 1 1 1 1 x y y y x x y y y y y                         

1

Tương tự, ta tính được suy ra x5=x1; x6=x2;x7=x3;… 3 4 1; , 1

y x x y y    

0,5

Vì 1986 = 4.496 + 2, nên 1986 2

1 1 3 3 x x y y        0,5

b).  

2 2 2

2 2 2 3 . 1 1 1 1 1 y yz z x y z A x y z x y z

y z yz xy xz

                        

    

  

2 2 3

2 3 2 . y z yz y z x xyz x y z x y z x y z x y z

            

0,5

  

3 2 2 2 2 3 3

2 2 3 y y z yz y z yz z x xyz

x y z x y z

            

0,5

  

3 3 3

2 2 3 x y z xyz

x y z x y z

        

0,5

Mà x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx ) 0,5   

3 2 2 2 2 3 3

2 2 3 y y z yz y z yz z x xyz

x y z x y z

            

0,5

Do đó kết quả trên được viết thành :

   

2 2 2

2 2 x y z x y z xy yz zx

x y z x y z

            

= 2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx + x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx

= 3(x2 + y2 + z2) (xyz  0; y + z  0 và x + y + z  0).

0,5

Câu 2 5điểm a) C = (x2 – 10x + 21)(x2 – 10x + 19) 2,5

) a5 – 5a3 + 4a = (a – 2)(a – 1)a(a + 1)(a + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5; 3 ; 8, chúng đôi một nguyên tố cùng nhau, nên a5 – 5a3 + 4a 3.5.8 = 120. 

2,5

Câu 3 3điểm

a). Ta có:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 ; 1 1 1 1 1 1

x x x x x x y y x x x x x x x x

         

0,5

4

2 4 4

4

4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1

y y x y y y y x x z y y y y x x y y

                    

1

ThuVienDeThi.com