Xem trước nội dung
PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 -2012 DUY XUYÊN Môn : TOÁN 8
Thời gian làm bài : 120 phút
Bài 1( 2đ )
a) Chứng minh rằng tổng các lũy thừa bậc ba của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9 .
b) Tìm n N để A = có giá trị nguyên. 1
20 12 12 11
2
2 3
n
n n n
Bài 2( 2,5đ) Giải các phương trình :
a) = 0 1 )1 ( 26 )1 ( 25 2 4 x x
b) x x x 1 2
Bài 3: (2,0đ)
a) Cho a > 0; b > 0 và a + b = 1. Chứng minh rằng :
1 1 4 1 1 3 a b
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = 1
3 4
2
x
x
Bài 4: ( 2đ )
Cho tam giác ABC có Â = , = ; kẻ các phân giác trong AD, BE ( 0 120 ^B 0 40
; E AC). D BC
a) Chứng minh rằng : 1 1 1 AB AC AD
b) Cho AB = m; AC = n; diện tích tam giác ABC là S. Tính diện tích tam giác
ABE theo m,n, S
Bài 5: ( 1,5đ)
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Phân giác góc AMB cắt AB tại E, phân giác
góc AMC cắt AC tại F.
a) Chứng minh : EF // BC.
b) Cho BC = 20 cm, AM = 10 cm . Tính EF.
………………Hết ……………….
ThuVienDeThi.com
PHÒNG GD&ĐT DUY XUYÊN
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8
NĂM HỌC 2011-2012
Bài 1(2đ) a) Gọi a-1, a, a+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp ( a ) 0 ; a N M= a a a a a 6 3 )1 ( )1 ( 3 3 3 3 = a a a a 9 )1 )( 1 ( 3
là tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 )1 ( )1 ( a a a Vậy M chia hết cho 9
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b) = 1
20 12 12 11
2
2 3
n
n n n
1 8 12 11 2
n
n n ) ( N n
A nguyên khi và 1 8 2 n n 8 n 1 2 n hay 7 )1 ( n n 3 ;2 : 1 ;0 n Thử lại và chọn 2 ;0 n
0,25 đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
a) = 1 )1 ( 26 )1 ( 25 2 4 x x 1 25 25 2 2 4 X X X = với )1 ( ]1 [ 25 2 2 2 X X X 1 x X = )1 25 )( 1 )( 1 ( 2 X X X = )1 5 )( 1 5 )( 1 )( 1 ( X X X X = 0 ) 6 5 )( 4 5 )( 2 ( x x x x
Suy ra 4 nghiệm 0; -2 ; ; 5 4 5 6
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
Bài 2(2,5đ)
b) x x x 1 2
Vô nghiệm x x x x 1 0 2
Suy ra (loại) x x x x 1 1 0 2 1 x
Suy ra ( loại), ( chọn) x x x x 1 1 2 1 x 1 x Kết luận
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
a) 1 1 4 3( 1 1) 4( 1)( 1) 1 1 3 a b a b a b ( do a+b=1 ) 9 4( 1) ab a b
2 9 4 8 1 4 ( ) 4 ab ab a b ab đúng với mọi a,b 0 ) ( 2 b a
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 3(2đ)
b) P= = 1
3 4
2
x
x 2 2
2 4 4 4 4 1 1 x x x x
= =
2 2
2 4( 1) (4 4 1) 1 x x x x 1
)1 2 ( 4 2
2
x
x
0,25đ
0,5đ
0,25đ
ThuVienDeThi.com
P 4 nên = 4 khi max P 2 1 x
Bài 4(2đ) a) Vẽ DK // AB , K AC , Chứng minh ADK đều => AD = AK = DK .
ABC có DK // AB suy ra ( Ta let ) AC CK AB DK
=> AC
AK AC AB AD
=> suy ra điều chứng minh AC AD
AD AC AB . 1
b) Tam giác ABE và tam giác ACB đồng dạng (gg)
Suy ra 2
2
AC
AB S S
ABC
ABE
Thay giá trị suy ra ABE S
0
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 5 (1,5đ)
Hình vẽ
a. Chứng minh ( tính chất đường phân giác tam giác MB MA EB EA
AMB)
Chứng minh ( tính chất đường phân giác tam giác MC
MA FC
FA
AMC)
MB= MC ( gt) , suy ra FC
FA EB EA
Suy ra EF // BC ( Định lí ta let đảo)
b. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A
Chứng minh AEMF là hình chữ nhật
Suy ra được EF =AM=10 cm
0
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25
0,25đ
0,25
Thí sinh giải cách khác, nếu đúng nhóm chấm phân biểu điểm tương tự. Hình vẽ không chấm điểm, nhưng bài hình không có hình vẽ thì không chấm phần liên quan.
ThuVienDeThi.com
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
