Tuyển tập đề thi Học sinh giỏi Toán học 8

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Trường THCS Phan Chu Trinh 1

ĐỀ THI SỐ 1 Câu 1: (4,0 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).

Câu 2: (5,0 điểm)

Cho biểu thức :

2 2

2 2 3 2 4 2 3 ( ) : ( ) 2 4 2 2 x x x x x A x x x x x          

a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?

b) Tìm giá trị của x để A > 0?

c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.

Câu 3: (5,0 điểm)

a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.

b) Cho và . Chứng minh rằng : . 1 x y z a b c    0 a b c x y z   

2 2 2

2 2 2 1 x y z a b c   

Câu 4: (6,0 điểm)

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần

lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của

C xuống đường thẳng AB và AD.

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK

c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

Nội dung đáp án Điểm Bài 1

a 2,0 3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = 1,0 = 3x(x -2) – (x - 2) 0,5 = (x - 2)(3x - 1). 0,5 b 2,0 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0 = ax(x - a) – (x - a) = 0,5

ThuVienDeThi.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Trường THCS Phan Chu Trinh 2

= (x - a)(ax - 1). 0,5 Bài 2: 5,0 a 3,0 ĐKXĐ :

2

2

2 3

2 0

4 0 0

2 0 2

3 3 0

2 0

x

x x

x x

x x x

x x

                        

1,0

2 2 2 2 2 2

2 2 3 2 4 2 3 (2 ) 4 (2 ) (2 ) ( ) :( ) . 2 4 2 2 (2 )(2 ) ( 3) x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x                     1,0

2 4 8 (2 ) . (2 )(2 ) 3 x x x x x x x       0,5

2 4 ( 2) (2 ) 4 (2 )(2 )( 3) 3 x x x x x x x x x         0,25

Vậy với thì . 0, 2, 3 x x x   

2 4x

3 A x   0,25

b 1,0

Với

2 4 0, 3, 2: 0 0 3 x x x x A x        0,25

3 0 x    0,25 3( ) x TMDKXD   0,25 Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25 c 1,0 7 4 7 4 7 4 x x x

        0,5

11( )

3( )

x TMDKXD

x KTMDKXD

    0,25

Với x = 11 thì A = 121

2 0,25

Bài 3 5,0 a 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0  1,0 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)  0,5 Do : 2 2 2 ( 1) 0;( 3) 0;( 1) 0 x y z       0,5 Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1  0,25 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25 b 2,5

Từ : ayz+bxz+cxy 0 0 a b c x y z xyz      0,5

ayz + bxz + cxy = 0  0,25

ThuVienDeThi.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Trường THCS Phan Chu Trinh 3

Ta có : 2 1 ( ) 1 x y z x y z a b c a b c       0,5

2 2 2

2 2 2 2( ) 1 x y z xy xz yz a b c ab ac bc        0,5

2 2 2

2 2 2 2 1 x y z cxy bxz ayz a b c abc        0,5

2 2 2

2 2 2 1( ) x y z dfcm a b c     0,25

Bài 4 6,0

O

F

E

K

H

C

A

D

B 0,25

a 2,0 Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF   0,5 Chứng minh : ( ) BEO DFO g c g    0,5 => BE = DF 0,25 Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25 b 2,0 Ta có: : : : : ABC ADC HBC KDC    0,5 Chứng minh : ( ) CBH CDK g g    : 1,0

. . CH CK CH CD CK CB CB CD     0,5

b, 1,75 Chứng minh : AF ( ) D AKC g g    : 0,25 AF . A . AK AD AK F AC AD AC     0,25

Chứng minh : ( ) CFD AHC g g    : 0,25 CF AH CD AC   0,25

Mà : CD = AB . . CF AH AB AH CF AC AB AC     0,5

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm). 0,25

ThuVienDeThi.com