Đề thi học sinh giỏi lớp 8 năm học 2013 - 2014 môn thi Toán

(Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang)

Câu 1(4,0 điểm): Cho biểu thức P = 2 2 1 1 . 1 : 3 1 3 x x x x x x x                   a. Rút gọn P. b. Tìm x Z để P có giá trị nguyên.  c. Tìm x để P 1. 

Câu 2(4,5 điểm):

a. Giải phương trình: x3 – 6x2 – x + 30 = 0

b. Giải bất phương trình sau: 1 2 3 1 1 3 2 3 x x x x      

c. Cho biết . Hãy tính giá trị của biểu thức: Q = 2

2 3 1

x

x x

  

2

4 2 1

x

x x   Câu 3(5,0 điểm):

a. Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức: 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y – 2x +2 = 0 b. Cho a, b, c Z, thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh a5 + b5 + c5 30  M

c. Chứng minh rằng: , trong đó a, b, c là 1 1 1 1 1 1 a b c a b c b c a a b c                                các số thực không nhỏ hơn 1.

Câu 4(4,5 điểm): Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a. Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC b. BH.BE + CH.CF = BC2

c. 2 . 4 BC AD HD 

d. Gọi I, K, Q, R lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ E xuống AB, AD, CF, BC. Chứng minh bốn điểm I, K, Q, R cùng nằm trên một đường thẳng.

Câu 5(2,0 điểm): Cho tam giác ABC. Trên tia đối của các tia BA, CA lấy theo thứ tự các điểm D, E sao cho BD = CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ đường thằng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh: AB = CK.

.............. Hết............. Họ và tên thí sinh::........................................... SBD........................................ Giám thị 1:.................................................... Giám thị 2:..............................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN HOẰNG HOÁ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8

NĂM HỌC 2013-2014

MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 21/04/2014 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8

HUYỆN HOẰNG HÓA Năm học: 2013-2014 MÔN THI: TOÁN

Câu Hướng dẫn Điểm a) ĐKXĐ: 0, 1 x x  

Ta có 2 2 1 2 . .( 1) . 3 1 3 1 1 x x P x x x x x x              

2 2 2 2 . 3 3 1 1 x x x x x x            

Vậy: 2

1 x P x  

0,25

0,75

0,75

0,25

b) Ta có 2 2 1 P Z x     Ư(2)= . 1 x     1; 2  Từ đó suy ra x   2;0;3; 1   Kết hợp với ĐKXĐ được x   2;3 

0,25

0,25 0,25

0,25

Câu 1

(4đ)

c) 2 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1 x x x P x x x

         Mà x – 1 < x + 1 nên x – 1 < 0 và x + 1 0 và  1 x   1 x  Kết hợp với ĐKXĐ được và 1 1 x   0 x 

0,25

0,5 0,25 a) Ta có x3 – 6x2 – x + 30 = 0 (x – 3)(x + 2)(x – 5) = 0  x-3=0 hoặc x+2=0 hoặc x-5=0 

x=3 hoặc x= -2 hoặc x=5  Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2; 3; 5}

0,75

0,5 0,25

b) 6x-6-2x+2 6x+9+2x-6 1 2 3 1 1 3 2 3 x x x x       

4x -7 x    7 4 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = 7 / 4 x x       

0,75

0,5

0,25

Câu 2 (4,5đ)

c) Từ , do đó 2

2 3 1

x

x x

  

0 x  

2 1 3 2 x x x  

1 3 1 2 x x    1 5 2 x x   

2 1 25 21 1 1 4 4 x x          

Lại có 4 2 2 2 2 1 1 1 x x x x x

   

2 1 21 1 4 x x        

Suy ra Q = = 2

4 2 1

x

x x  

4 21

0,25

0,5

0,5

0,25

Câu 3 (5,0đ)

a) 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y – 2x +2 = 0

25x2 + 25y2 + 40xy + 10y –10x +10 = 0 

(5x + 4y -1)2 + 9(y + 1)2 = 0 

0,25 0,25 ThuVienDeThi.com