Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2014 - 2015 môn Toán 8

Phòng Giáo dục- Đào tạo

CHƯƠNG MỸ

*****

đề thi học sinh giỏi cấp huyện

năm học 2014 - 2015

môn: Toán 8 (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề)

Đề thi này gồm 1 trang

Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức

 

  



      2 2 2 2 2 2 2

1 1 : y

4xy A x xy y x y x a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định. b) Rút gọn A. c) Nếu x; y là các số thực thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A? Bài 2 (4 điểm):

a) Giải phương trình :

82

44 93

33 104

22 115

11        x x x x

b) Tìm các số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và 2010 2009 2009 2009 3    z y x Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau. N  Bài 4 (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và A A EAD ECB  b) Cho và . Tính SEBC? A 0 120 BMC  2 36 AED S cm  c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi. d) Kẻ . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. DH BC    H BC  Chứng minh . CQ PD  Bài 5 (2 điểm):

a) Chứng minh bất đẳng thức sau: (với x và y cùng dấu) 2  x

y y x

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (với )

2 2

2 2 3 5 x y x y y x y x          

x 0, y 0  

Trường thcs Đồng phú

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM

năm học 2014 - 2015

môn: Toán 8

Bài 1: (4 điểm)

a) Điều kiện: x y; y 0 (1 điểm)   b) A = 2x(x+y) (2 điểm) c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A

+ Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1  2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2   A = 2 – (x – y + 1)2 (do (x – y + 1) (với mọi x ; y) A 2. (0,5đ)  2  0   

+ A = 2 khi  

x y 1 0

2x x y 2

x y;y 0

         



1 x 2 3 y 2

   

+ A = 1 khi Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng  

2 (x y 1) 1

2x x y 1

x y;y 0

          

hạn:

2 1 x 2 2 3 y 2

   

   + Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2 (0,5 điểm) Bài 2: (4 điểm)

a) x 11 x 22 x 33 x 44 115 104 93 82       

x 11 x 22 x 33 x 44 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 115 104 93 82           

x 126 x 126 x 126 x 126 115 104 93 82        

x 126 x 126 x 126 x 126 0 115 104 93 82         

... 

x 126 0    x 126   b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx

2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0 

(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0 

x y 0

y z 0

z x 0

          

ThuVienDeThi.com

x y z    x2009 = y2009 = z2009  Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009  z = 3  Vậy x = y = z = 3

Bài 3 (3 điểm) Cần chứng minh: n5 – n 10  - Chứng minh : n5 - n 2  n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) 2 ( vì n(n – 1) là tích của hai số nguyên  liên tiếp) - Chứng minh: n5 – n 5  n5 - n = ... = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5) = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) lý luận dẫn đến tổng trên chia hết cho 5 - Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10   Suy ra n5 và n có chữ số tận cũng giống nhau.

Bài 4: 6 điểm

I P

Q

H

E

D

A

B C

M

Câu a: 2 điểm

* Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 điểm) - Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg) 0,5 điểm  

- Từ đó suy ra 0,5 điểm . . EB ED EA EB ED EC EC EA   

* Chứng minh (1 điểm) A A EAD ECB 

- Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc) 0,75 điểm  

- Suy ra 0,25 điểm A A EAD ECB 

Câu b: 1,5 điểm

- Từ = 120o = 60o = 30o 0,5 điểm ABMC AAMB AABM

- Xét EDB vuông tại D có = 30o  AB

ThuVienDeThi.com