Đề thi học sinh giỏi năm học 2014 - 2015 môn Toán 8

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014-2015 TIỀN HẢI m¤N: TOÁN 8 (Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 ( 5 điểm):

a) Tìm x, y biết: 2x2 + y2 + 6 = 4(x – y) b) Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x

Tính giá trị của biểu thức    

2 2 x y xy A xy 1

c) Cho a > b > 0. Trong hai số sau số nào lớn hơn

và

     

   

2 n 1

2 n 1 a a ... a A

1 a a ... a

     

   

2 n 1

2 n 1 b b ... b B

1 b b ... b Bài 2 ( 4 điểm):

Cho phương trình: (1)       

2

2 ax 1 b a(x 1) x 1 x 1 x 1 a) Giải phương trình khi a = 2; b = - 3 b) Giải và biện luận phương trình (1) Bài 3 ( 3,5 điểm):

a) Cho A = a2 + b2 + c2 , trong đó a;b là hai số tự nhiên liên tiếp và c = a.b. Chứng minh A là một số chính phương lẻ. b) Cho số tự nhiên n > 3. Chứng minh nếu 2n = 10a + b ( 0 < b < 10) thì tích a.b chia hết cho 6. Bài 4 ( 6 điểm): Cho tam giác ABC vuông ở A. Kẻ đường cao AA’, Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của A’ lên AC và AB. Chứng minh rằng:

a) từ đó suy ra AC2 = CA’.CB AA'C BAC : ::

b) 

3

3 CE AC BF AB c) D là một điểm nằm trên cạnh huyền BC; M,N là hình chiếu của D lên AB và AC. Chứng minh DB.DC = MA.MB + NA.NC Bài 5 ( 1.5 điểm):

Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích S và O là điểm nằm trong tứ giác sao cho OA2 + OB2 + OC2 + OD2 = 2S. Chứng minh rằng ABCD là một hình vuông có tâm O.

Họ và tên thí sinh: ........................................................................................................

Số báo danh: .......................................................................................................................

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KI THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011-2012 TIỀN HẢI hƯỚNG DẪN CHẤM THI TOÁN 8

a) * §K: x -1; y 1; x+y 0    0,5 đ

2 2 2 2 x (1 x) y (1 y) x y (x y) A (x y)(1 y)(1 x)         

2 3 2 3 2 2 x x y y x y (x y) A (x y)(1 y)(1 x)         

0,5đ

2 2 3 3 2 2 (x y ) (x y ) x y (x y) A (x y)(1 y)(1 x)         

2 2 2 2 (x y)(x y) (x y)(x xy y ) x y (x y) A (x y)(1 y)(1 x)            

2 2 2 2 (x y)(x y x xy y x y ) A (x y)(1 y)(1 x)          

0,75đ

2 2 2 2 (x y) (x xy) (y y ) (x x y ) A (x y)(1 y)(1 x)

             

2 2 (x y)(1 y)(x y x x y) A (x y)(1 y)(1 x)         

0,5đ

(x y)(1 y)(1 x)(x y xy) A (x y)(1 y)(1 x)          0,5đ

A x y xy    0,25đ b) 0,5đ A 2 x y xy 2

x y xy 2 0

(1 y)(x 1) 1.

    

    

   

0,5đ

Vì x, y nguyên (1 y 1 và x-1=1) hoặc (1+y=-1 và x-1=-1)   

( t/m điều kiện) y=0 và x=2 hoặc y=-2 và x=0 

Bài 1 ( 5 điểm)

Vậy thì A=2. x=2; y=0 hoÆc x=0; y=-2

a) x 60 x 50 x 10 x 2 0 40 30 10 18         2đ

x 60 x 50 x 10 x 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 40 30 10 18              0,5đ

x 20 x 20 x 20 x 20 0 40 30 10 18          0,5đ

1 1 1 1 (x 20)( ) 0 40 30 10 18       0,5đ

(x 20) 0 x 20      0,25đ

Bài 2 (4 điểm)

Vậy Tập nghiệm của pt:   S 20  0,25đ

ThuVienDeThi.com

b)Cho các số nguyên a, b,c thoả mãn: . Cứng minh rằng: 1 1 1 1 a b c abc   

là số chính phương.     2 2 2 1 a 1 b 1 c   

2đ

Ta có: 1 1 1 1 ab bc ca 1 a b c abc        0,5đ

2 2 1 a ab bc ca a a(a b) c(a b) (a b)(a c)            

2 2 1 b ab bc ca b b(a b) c(a b) (a b)(b c)            

2 2 1 c ab bc ca c b(a c) c(a c) (a c)(b c)            

0,5đ

 2 2 2 2 2 2 2 (1 a )(1 b )(1 c ) (a b) (b c) (a c) (a b)(b c)(c a)             0,5đ

Vì a, b, c là các số nguyên (a b)(b c)(c a) Z      là số chính phương 2 2 2 (1 a )(1 b )(1 c )     0,5đ

-Vẽ hình sai không chấm

H

I

F

E

O

D

K C B

A

a) C/m: đồng dạng với AHB  EOF  2 đ

: : E, F là trung điểm của BC, AC (gt)

EF là đường trung bình của ABC EF//AB BAC EFC (1)     

0,5đ

Do (2) : : 0 BH AC(gt) BAC ABH 90     Lại có: (3) : : 0 OF AC ( t/c đường trung trực) EFC OFE 90    

0,5đ

Từ (1) (2) (3) (4) : : ABH OFE   0,25đ

- Chứng minh …