Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán học

KÌ THI HSG CẤP HUYỆN

MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ BÀI

Bài 1(4,0 điểm).. Phân tích đa thức thành nhân tử.

2 2 , 3 2 a x y x y    

3 3 , 6 10 b x y xy x y     

Bài 2(4,0 điểm).: Giải các phương trình sau.

5 150 5 102 5 56 5 12 5 660 , 0 50 49 48 47 46 x x x x x a          

      3 3 3 , 2 1 3 5 5 6 b x x x     

Bài 3(4,0 điểm).: a) Tìm các cặp số nguyên x, y thoả mãn: 2 , 3 5 a xy y x x    

b) Cho a, b, c khác nhau và khác 0 thoả mãn: 1 1 1 0 a b c   

Tính giá trị biểu thức C =

2 2 2

2 2 2 a b c + a + 2bc b + 2ac c + 2ab 

Bài 4(2,0 điểm).. Cho c ác số dương a,b,c thoả mãn ab+a+b=3.

Tìm GTNN c ủa biểu thức 2 2 a b 

Bài 5 (6,0 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn các đường cao AD, BE,

CF của ta giác cắt nhau tại H.

a) Chứng minh và đồng dạng. AEF  ABC 

b) Chứng minh 2 AH BH CH AD BE CF   

c) Chứng minh: 9 AD BE CF HD HE HF   

d) Đường thẳng qua A vuông góc EF cắt tia HM ở K ( M là trung điểm

BC). Chứng minh K Đối xứng với H qua M.

------------------ Hết ----------------

Họ và tên thí sinh:……………………………… Số báo danh: …………………

ThuVienDeThi.com

hướng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi toán 8 Bài Lời giải sơ lược điểm Ý a(2,0đ)

          

2 2

2 2

3 2

2 2 2

2 2

2 2

2 1

x y x y

x y x y x y

x y x y x y x y

x y x y x y

x y x y

   

      

       

      

    

0,5 0,5 0,5

0,5

Bài 1

(4 đ)

Ý b (2,0đ)

                    

3 3

3

3

3

2 2

2 2

6 10

3 6 10

8 3 2 2

2 6 2 3 2 2

2 4 2 4 4 6 6 3 1

2 2 2 5

x y xy x y

x y xy x y xy x y

x y xy x y x y

x y x y x y xy x y x y

x y x y xy x y x y xy

x y x y xy x y

    

       

       

            

           

       

0,5 0,5

0,5

0,5

Ý a(2,0đ)

 

5 150 5 102 5 56 5 12 5 660 , 0 50 49 48 47 46 5 150 5 102 5 56 5 12 5 660 1 2 3 4 10 0 50 49 48 47 46 5 200 5 200 5 200 5 200 5 660 0 50 49 48 47 46 1 1 1 1 1 5 200 0 50 49 48 47 46 5 200 0 40

x x x x x a

x x x x x

x x x x x

x

x x

         

            

          

                 

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

Bài 2 (4,0 đ)

           

3 3 3

3 3 3 , 2 1 3 5 5 6

2 1 3 5 6 5 0

b x x x

x x x

    

      

Ta thấy 2x – 1 +3x – 5 +6 – 5x=0

HS chứng minh tính chất Nếu a+b+c =0 thì 3 3 3 3 a b c abc   

Áp dụng tính chất : Nếu a+b+c =0 thì ta 3 3 3 3 a b c abc   

0,25đ

0,25đ

0,5đ

ThuVienDeThi.com

được phương trình

    3 2 1 3 5 6 5 0

2 1 0;3 5 0;6 5 0 1 5 6 ; ; 2 3 5

x x x

x x x

x x x

   

     

   

0,5đ

0.25đ

0,25đ

Ý a(1,5đ)

 

2

2 , 3 5

1 3 5

a xy y x x

x y x x

   

    

Ta thấy x=1 không là nghiệm của phương trình nên chia hai

vế cho x – 1 được

2 3 5 1

3 2 1

x x y x

y x x

   

    

Mà x,y là số nguyên nên     1 3; 1;1;3 2;0;2;4 x x    

Từ đó thay vào tìm được       ; 2; 5 , 0; 5 , 2;3 , 4;3 x y   

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,5đ

0,25đ

Bài 3 (3,5 đ)

Ý b(2đ)

Rút gọn biểu thức C =

2 2 2

2 2 2 a b c + a + 2bc b + 2ac c + 2ab 

Từ ab + ac + bc = 0 1 1 1 0 a b c    

a2 + 2bc = a2 + 2bc – (ab + ac + bc) = a2 – ab + bc – ac = 

(a – b)(a – c)

Tương tự: b2 + 2 ac = (b – a)(b – c) ; c2 + 2ab = (c – a)(c – b)

2 2 2

2 2 2

a b c C= + (a - b)(a - c) (b - a)(b - c) (c - a)(c - b)

a b c - (a - b)(a - c) (a - b)(b - c) (a - c)(b - c)



 

2 2 2 a (b - c) b (a - c) c (b - c) - (a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c) 1 (a - b)(a - c)(b - c)

 

 

0,25

0,25

0,25đ

0,25đ

0,25

0,25đ

0,5đ Bài 4 (1,5đ)

Bài 4.

ThuVienDeThi.com